Что такое дискретные случайные величины и дискретное распределение вероятностей?
В вероятности и статистике случайная величина - это количественная переменная, значение которой зависит от результатов случайного явления. Например, давайте подбросим монету 3 раза и пусть X представляет количество решек, выпавших при этих трех подбрасываниях. Тогда X может принимать любое из следующих значений: 0, 1, 2, 3. Здесь X будет случайной величиной, поскольку она представляет шансы или результаты подбрасывания монеты. Мы не узнаем результатов, пока монета не подбросит и не подсчитает количество решек. Здесь переменная X будет дискретной. Это означает, что он может принимать только точные значения.
Дискретные случайные величины могут принимать конечное или счетное число возможных значений, тогда как в случае непрерывных случайных величин они могут принимать любое или бесконечное число значений в интервале.
Мы также можем перечислить вероятности наступления всех возможных исходов для трехкратного подбрасывания монеты. Возможные результаты: HHH, THH, HTH, HHT, HTT, THT, TTH и TTT. Здесь H представляет голову, а T представляет хвост.
На рисунке выше представлено распределение вероятностей случайной величины X. Это список всех возможных значений X и их вероятностей появления, p (x). Если мы повторим случайный эксперимент много раз и построим вероятности каждого возможного исхода, то мы получим распределение вероятностей.
Дискретное распределение вероятностей должно удовлетворять следующим двум условиям:
- 0≤ p (x) ≤ 1 для всех значений x.
2. ∑ p(x) = 1
В нашем примере ∑ p (x) = 0,125 + 0,375 +0,375+ 0,125 = 1
Ожидаемое значение, дисперсия и стандартное отклонение дискретного распределения вероятностей:
Ожидаемое значение или ожидание случайной величины - это долгосрочное теоретическое среднее случайной величины. Мы можем вычислить ожидаемое значение E (X), умножив каждое значение X на их соответствующую вероятность появления, а затем просуммировав их все.
E(X=x) = ∑ x. p(x)
Например, предположим, что один из ваших друзей предлагает вам сыграть в игру. Выпадет кубик, и следующие правила игры:
- Если выпадает 1, вы должны дать ему 1 рупий.
- Если выпадет 2, он даст вам рупий. 2.
- Если выпадает 3, вы должны дать ему 3 рупии.
- Если выпадет 4, он даст вам рупий. 4.
- Если выпадет 5, вы должны дать ему 5 рупий.
- Если выпадет 6, он даст вам рупий. 6.
Вы бы сыграли в эту игру? Вы будете играть в игру только в том случае, если она будет прибыльной. Чтобы узнать это, мы должны рассчитать ожидаемый выигрыш или проигрыш в игре. Распределение вероятностей для игры будет следующим:
E(X) = (-1 x 1/6) +(2 x 1/6) +(-3 x 1/6) + (4 x 1/6) + (-5 x 1/6) +(6 x 1/6)
= 3/6
= Rs. 0.5
Поскольку ожидаемая стоимость составляет рупий. 0.5, это будет прибыльная игра. Другими словами, вы можете рассчитывать на выигрыш рупий. 0,5 за каждую игру. Если вы сыграете в игру 1000 раз, то ожидаемая сумма выигрыша составит (0,5 x1000) = рупий. 500. Одна и та же игра была смоделирована 1000 раз, и следующие два изображения являются результатами моделирования, которые показывают общий выигрыш и средний выигрыш за игру после того, как сыграли в игру 1000 раз.
Приведенные выше изображения ясно показывают, что после игры 1000 раз общий выигрыш почти равен 500 рупий, а средний выигрыш за игру составляет около 0,5 рупий. Это то, что мы ожидали. Долгосрочное среднее значение выигрыша совпадает с ожидаемым значением, а общий выигрыш также близок к ожидаемому значению рупий. 500. Первоначально общий выигрыш и средний выигрыш за игру сильно колеблются. Но в долгосрочной перспективе они, как правило, меньше отклоняются от ожиданий.
Ожидаемое значение дает нам типичное или среднее значение переменной. Но это ничего не говорит о том, как распределяются ценности. А вот и дисперсия, которая расскажет нам о разбросе данных.
Var (X) = E (x-µ) ² = ∑ (x-µ) ².p (x)
Давайте снова возьмем приведенный выше пример игры. Здесь E (X) или µ равно 0,5.
Следовательно, Var (X) = (-1- 0,5) ² x 1/6 + (2 - 0,5) ² x 1/6 + (-3- 0,5) ² x 1/6 + ( 4 - 0,5) ² x 1/6 + (-5- 0,5) ² x 1/6 + (6 - 0,5) ² x 1/6 = 14,92
Точно так же мы также можем рассчитать стандартное отклонение в соответствии со следующим:
Стд. Dev = √Variance
«Меры изменчивости и разброса | пользователя Dhrubjun | Ботаник для технологий | Сен, 2021 | Середина"
Итак, для приведенного выше примера стандартное отклонение будет √14,92 = 3,86. Это означает, что в среднем наш выигрыш за игру будет на 3,86 меньше ожидаемого 0,5.
Это все на сегодня. В следующей части мы узнаем о различных дискретных распределениях вероятностей. А пока продолжай улыбаться. 😀
