Наряду с проработанными примерами

Ожидаемое значение случайной величины - это средневзвешенное значение всех возможных значений переменной. Вес здесь означает вероятность того, что случайная величина примет определенное значение.

Какова ожидаемая длина моркови? Случайной величиной здесь является длина моркови. В этом посте я объясню, как ответить на этот вопрос.

Прежде чем вдаваться в подробности, мы должны провести различие между дискретными и непрерывными случайными величинами.

  • Дискретные случайные величины принимают конечное или счетное бесконечное число значений. Количество дождливых дней в году - дискретная случайная величина.
  • Непрерывные случайные величины принимают бесчисленное множество значений. Например, время, которое проходит от вашего дома до офиса, является непрерывной случайной величиной. В зависимости от того, как вы его измеряете (минуты, секунды, наносекунды и т. Д.), Он принимает несчетное бесконечное количество значений.

Ожидаемое значение дискретных случайных величин

Начнем с очень простой дискретной случайной величины X, которая принимает только значения 1 и 2 с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно.

Примечание. Сумма вероятностей должна составлять 1, поскольку мы учитываем все значения, которые может принимать эта случайная величина.

Ожидаемое значение этой случайной величины, обозначенное E [X],

Если бы вероятности 1 и 2 были одинаковыми, то ожидаемое значение было бы 1,5. Формула ожидаемого значения дискретной случайной величины:

Вы можете подумать, что эта переменная принимает только значения 1 и 2, и как ожидаемое значение может быть чем-то другим? Рассмотрим более широкий диапазон. Допустим, мы выбрали 10 значений из этой случайной величины. Общее ожидаемое значение будет 16 (6 умножить на 2 и 4 умножить на 1).

Давайте рассмотрим более сложный пример. Предположим, вы проходите тест, состоящий из 4 вопросов с несколькими вариантами ответов. Каждый вопрос оценивается в 10 баллов и имеет 4 варианта ответа.

Вы случайным образом выбираете вариант, даже не читая вопросов. Каково ожидаемое значение баллов, которые вы получите за этот тест? Вы можете ответить на этот вопрос без каких-либо сложных расчетов. Поскольку существует 4 варианта ответа, вероятность выбрать правильный ответ составляет 0,25. Есть 4 вопроса, поэтому вы, вероятно, ответите правильно на 1 вопрос (1 x 0,25), который принесет 10 баллов.

Давайте также найдем математическое ожидание по формуле и посмотрим, получим ли мы тот же результат. Мы можем правильно ответить на 0, 1, 2, 3 или 4 вопроса. Таким образом, у нас есть дискретная случайная величина, которая принимает значения 0, 10, 20, 30 и 40. Я вычислил вероятности каждого случая ниже и записал очки, заработанные в каждом случае.

Ожидаемое значение рассчитывается путем умножения точки (xi) на вероятность получения этой точки (p (xi)) и их сложения. Если вы действительно выполните вычисления, вы увидите, что результат равен 10.

Ожидаемое значение непрерывных случайных величин

Ожидаемое значение непрерывной случайной величины вычисляется по той же логике, но с использованием разных методов. Поскольку непрерывные случайные величины могут принимать бесчисленное множество значений, мы не можем говорить о переменной, принимающей конкретное значение. Мы скорее ориентируемся на диапазоны значений.

Для расчета вероятности диапазонов значений используются функции плотности вероятности (PDF). PDF - это функция, которая определяет вероятность того, что случайная величина примет значение в определенном диапазоне.

Вот PDF непрерывной случайной величины, которая равномерно распределена между 5 и 10. Ось x содержит все возможные значения, а ось y показывает вероятность значений.

Поскольку переменная имеет равномерное распределение, вероятность одинакова для всех значений. Площадь под всем PDF-файлом должна быть равна 1. Для PDF-файла, приведенного выше, площадь составляет 0,2 x (10–5), что равно 1. Не каждый PDF-файл представляет собой прямую линию. Как правило, площадь рассчитывается путем интеграла от PDF.

Ожидаемое значение этой случайной величины составляет 7,5, что легко увидеть на графике. Однако лучше выучить формулу, поскольку не каждый PDF-файл так прост, как приведенный выше.

Формула ожидаемого значения непрерывной переменной:

Ожидаемое значение рассчитывается на основе этой формулы, как показано ниже.

Давайте рассмотрим более сложный пример. Рассмотрим следующую PDF непрерывной случайной величины X.

Мы постараемся подойти к ожидаемой стоимости с другой точки зрения. Вероятность того, что переменная примет значение 0, равна 0. Вероятность продолжает расти по мере увеличения значения и в конечном итоге достигает наивысшей вероятности при значении 8.

Если бы это была однородная случайная величина, ожидаемое значение было бы 4. Поскольку вероятность возрастает с увеличением значения, ожидаемое значение будет больше 4.

Если вы думаете об этом PDF-файле как о однородном листе металла или любого другого материала треугольной формы, ожидаемым значением будет координата x центра масс.

Функция PDF, представленная этой линией, равна f (x) = 0,03125x. Ожидаемое значение оказывается 5,33, если вы посчитаете.

Ожидаемое значение - это простое, но очень фундаментальное понятие статистики и вероятности. Чтобы укрепить ваше понимание, я предлагаю сделать несколько примеров самостоятельно. Тогда вам хорошо!

Спасибо за чтение. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть какие-либо отзывы.

Все изображения созданы автором, если не указано иное.