Устранение путаницы

Сложная вероятность P(A∩B)

Вероятность того, что 2 события произойдут вместе (или последовательно).

Eg

  • Вероятность выпадения правильной монеты ¹⁄₂ = 50%.
  • Вероятность подбрасывания двух одинаковых монет равна ¹⁄₂ × ¹⁄₂ = ¹⁄₄ ​= 25% (это также можно прочитать как 50% от 50%)

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

Для 2 монет выборочное пространство будет равно 4 {HH, HT, TH, TT}, если первая монета равна H, то остальные результаты равны 2 {HT, HH}. Это означает, что первое событие может повлиять на второе событие.

Eg

  • Вероятность выбора 1 зеленого шара из 10 шаров разного цвета равна ¹⁄₁₀
  • Вероятность выбрать 2 зеленых шара из 10 шаров (2 зеленых, 2 синих, 2 красных, 4 желтых) ²⁄₁₀ × ¹⁄₉ (это будет более понятно при перестановке и комбинации)

Суммируя. когда возникновение 1-го события влияет на возникновение 2-го события, тогда они являются зависимыми событиями.

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A)

Здесь P(B|A) читается как вероятность B после A. Это вероятность наступления события B, когда событие A уже произошло. Это называется условной вероятностью.

Сложная вероятность против условной вероятности

проблема: треугольный район в городе загрязнен химическими предприятиями. 2% детей живут в этом треугольнике. 14% из них дают положительный результат на чрезмерное содержание токсичных металлов в тканях. Доля положительных тестов у детей в городе, не проживающем в треугольнике, составляет всего 1%.

Учитывать

  • T обозначает людей, живущих в треугольной области, а
  • P обозначает людей, у которых был положительный результат теста.

Когда говорится, что 14 % детей в треугольнике дали положительный результат, это означает: если вы выберете случайного ребенка из треугольника, у него будет 14 % шансов на положительный результат. Это P(P∣T)

Интерпретация P(P∩T) — это вероятность того, что случайный человек из всего населения находится в треугольнике и дает положительный результат.

Понимание с диаграммой Венна

P(A ∩ B) — это вероятность того, что произошли и A, и B (без какой-либо дополнительной информации).

P(A|B) — это вероятность того, что произошло А, если мы знаем, что произошло Б.

Давайте разберемся на примере. В классе 60 учеников. 33 – синий цвет, 23 – красный, 20 – оба цвета и 4 – оранжевый.

  1. Какова вероятность выбрать учащегося, которому нравятся оба цвета.

Условие не дается. Поэтому мы будем использовать универсальное пространство выборки.

Мы проверим вероятность выбора студента с определенным выбором из всех студентов.

P(B ∩ R) = ²⁰⁄₆₀

2. Какова вероятность выбрать ученика, которому нравится синий цвет🄵🅁🄾🄼учащегося, которому нравится красный цвет

Мы будем использовать демонстрационное пространство для данного условия

Мы проверим вероятность выбора студента с определенным выбором из определенного набора студентов.

⇒ 23 ученика любят красный цвет. Из них 20 нравятся оба цвета.

P(B | R) =²⁰⁄₂₃

С диаграммами Венна и приведенным выше примером мы можем сказать, что в обеих ситуациях результаты желаемого события не меняются, но пространство выборки сокращается. Следовательно,

𝐏(𝐀∣𝐁) ≥𝐏(𝐀∩𝐁)

Примеры

Давайте поймем разницу еще на нескольких примерах

Пример 1

  1. Предположим, вы бросаете два кубика, какова вероятность того, что на первом выпадет шестерка, а на втором – четверка?
  2. Предположим, вы бросили два кубика. Какова вероятность того, что на втором кубике выпадет четверка, если сумма чисел на двух кубиках равна десяти?

В первом случае не задано условие для определения выборочного пространства. Таким образом, мы возьмем общее количество возможных исходов от 2 игральных костей, то есть 36. (Универсальное пространство)

P(A ∩ B) = 2/36

Во втором случае существует условие для выборочного пространства, т.е. выборочного пространства из 2 чисел на костях, что в сумме составляет 10. Всего элементов в выборочном пространстве всего 3 {4+6,5+5,6+4}

P(A | B) = 1/3

Пример 2

Человек переходит улицу, и мы хотим вычислить вероятность того, что его собьет проезжающая машина в зависимости от цвета светофора.

Пусть H будет означать, будет ли человек сбит или нет, а C будет цветом светофора.

  • H={попал, не попал}
  • C={красный, желтый, зеленый}.

Условная вероятность того, что вас ударят в этом случае, — это вероятность P(H=hit|C=red), т. е. учитывая, что свет красный, насколько высока вероятность того, что вас ударит автомобиль.

Хорошо! есть шанс, что человек может быть сбит, даже если свет не красный, но здесь мы рассматриваем только автомобильные аварии, когда свет был красным.

С другой стороны, составная (или совместная) вероятность равна P(H=столкновение, C=красный), т. е. вероятность того, что на светофоре красный свет и вас сбила машина.

Предположим, человек трижды переходил дорогу без происшествий. И 7 раз его сбивала машина. В сложной вероятности мы также хотим знать, сколько раз свет был красным, когда в него попали.

Теперь, скажем, он переходил дорогу 10 раз на красный свет и 7 раз его сбивала машина. В таких случаях дается условие для выборочного пространства.

Пример 3

Исследователи опросили 100 студентов о том, какую суперсилу они больше всего хотели бы иметь. Эта двусторонняя таблица отображает данные для выборки учащихся, принявших участие в опросе:

Найдем разные вероятности;

  1. Найдите вероятность того, что учащийся выберет полет в качестве своей сверхспособности.

Условие для выборочного пространства не дается. Итак, мы возьмем всех студентов (100) для расчета вероятности.

P(летать) = 38/100 = 0,38

2. Найдите вероятность того, что студент был мужчиной.

Опять же, нет условий для выборочного пространства. Итак, мы возьмем всех студентов (100) для расчета вероятности.

Р (мужчины) = 48/100 = 0,48

3. Найдите вероятность того, что студент был мужчиной,🄶🄸🅅🄴🄽ученик выбрал полет в качестве своей сверхспособности.

Теперь это интересно, образцом пространства для этой задачи является группа студентов, которые хотят летать.

n(S) = 38

Из 38 студентов 26 мужчин. Так

P (самец ∣ муха) = 26/38 = 0,68

или используя формулу условной вероятности

P (мужчины ∩ летать) = Студенты мужского пола, которые решили летать / Всего студентов = 26/100

P (самец ∣ летать) = P (самец ∩ летать) / P (летать) = 26/38 = 0,68

4. Найдите вероятность того, что учащийся решил лететь, при условии, что учащийся был мужчиной.

Это почти то же самое, что и последняя проблема. Примерным пространством для этой задачи будет n(S) = 48. Из 48 студентов 26 хотят летать. Так

P (мужчина ∣ муха) = 26/48 = 0,68

5. Пусть I представляет собой событие, когда учащийся выбрал невидимость в качестве своей сверхспособности, а F представляет событие, в котором учащимся была женщина.

Интерпретируйте значение P(I ∣ F)≈0,62;

Выберите правильный вариант;

а. Около 62% женщин выбрали невидимость в качестве своей сверхспособности.
б. Около 62% людей, выбравших невидимость в качестве своей сверхспособности, были женщинами.

Объяснение

  • n (S) = все женщины
  • I ∣ F можно считать людьми из всех женщин, выбравших невидимость.

Вместе мы можем прочитать это так: Около 62% женщин выбрали невидимость в качестве своей сверхспособности. Итак, утверждение (а) верно.

Пример 4

Шрея составила следующую таблицу, в которой она классифицировала страны по их регионам и средним затратам на открытие бизнеса в процентах от валового национального дохода (ВНД) на душу населения за определенный год.

Найдите вероятность того, что страна находится в регионе Южной Азии, учитывая, что Шрейя классифицировал затраты на открытие бизнеса в стране как высокие.

решение

Эта проблема подпадает под условную вероятность, поскольку дается условие для выбора выборочного пространства.

  • Страны с высокими затратами на открытие бизнеса n(S) = 87 (выборка)
  • Страны в регионе Южной Азии из приведенного выше пространства выборки, т. е. страны, в которых затраты на открытие бизнеса высоки: 7

Вероятность выбора страны в регионе Южной Азии из стран с высокими затратами на открытие бизнеса = 7/87.

Если использовать формулу условной вероятности

Сначала мы можем рассчитать P(A ∩ B), то есть вероятность выбора страны из всех стран, которая находится в регионе Южной Азии и где затраты на открытие бизнеса высоки.

Таких стран 7. Поскольку для выбора выборочного пространства не определено условие, мы возьмем универсальное пространство, т. е. n(S) = 188.

P(A ∩ B) = 7/188

Теперь нам нужно рассчитать вероятность страны, в которой затраты на запуск бизнеса высоки. Это довольно просто

P(A) = 87/188

По формуле P(B|A) = 7/87

Отказ от ответственности

Все примеры, которые я использовал, чтобы прояснить путаницу между сложной и условной вероятностью, взяты из разных источников. Пожалуйста, проверьте справочный раздел.

Ссылка