Матрица как трансформация пространства — 3Blue1Brown
Линейное преобразование
«Матрица — это линейное преобразование»
Это самая важная концепция, которую мы изучаем сегодня. Прежде чем углубиться, давайте посмотрим, что такое линейные преобразования.
Назовем преобразование пространства «линейным», когда выполняются два условия:
- Каждая линия должна оставаться линейной после преобразования
- Происхождение должно оставаться прежним
Понимание концепции (шаг 1)
В прошлом посте мы узнали, что вектор может быть представлен базисными векторами.
Даже после линейного преобразования он всегда один и тот же.
Представление такое же, но нам просто нужно знать, куда приземляются преобразованные i-hat и j-hat.
Здесь i-hat и j-hat находятся в другом месте по сравнению с исходной системой. Нам просто нужно знать, где преобразованные i-hat и j-hat приземляются в исходной системе.
Давайте используем пример вектора прямо выше. Предположим, что преобразованная i-шляпа приземляется на x₁, y₁, а преобразованная j-шляпа приземляется на x₂, y₂.
Понимание концепции (Шаг 2)
Эти «точки приземления» i-hat и j-hat обычно записываются в виде матрицы 2 x 2.
Итак, когда мы видим матрицу, умноженную на вектор,
Это означает, что мы трансформируем базисные векторы, масштабируем векторы, а затем добавляем эти два вектора.
Также с размерами nᵗʰ,
Линейно зависимый случай
Некоторые матрицы могут выглядеть так:
если мы преобразуем наш базисный вектор таким образом, базисные векторы будут выглядеть так:
Это сжимает диапазон в более низкое измерение.
Заключение
Итак, основной момент заключается в следующем:
Когда вы смотрите на матрицу, рассматривайте ее как преобразование пространства.
