Нахождение Y с учетом X на кубической кривой Безье?

Есть три распространенных способа выражения кубической кривой Безье.

Сначала x как функция t

x(t) = sum( f_i(t) a_i )
     = (1-t)^3 * x0 + 3*(1-t)^2 * t * x1 + 3*(1-t) * t^2 * x2 + t^3 * x3

Во-вторых, y как функция от x

y(x) = sum( f_i(x) a_i )
     = (1-x)^3 * y0 + 3*(1-x)^2 * x * y1 + 3*(1-x) * x^2 * y2 + x^3 * y3

Эти первые два математически одинаковы, просто для переменных используются разные имена.

Судя по вашему описанию, «найдите координату Y на кубической кривой Безье, учитывая координату x на ней». Я предполагаю, что у вас есть вопрос, используя второе уравнение: вы пытаетесь переставить первое уравнение, чтобы помочь вам его решить, тогда как вы должны использовать второе уравнение. Если это так, то перестановка или решение не требуется - просто вставьте значение x, и вы получите решение.

Возможно, у вас есть уравнение третьего рода, что является ужасным и трудным случаем. Оба параметра x и y являются кубической кривой Безье третьей переменной t.

x(t) = sum( f_i(t) x_i )
y(t) = sum( f_i(t) y_i )

Если это ваш случай. Дайте мне знать, и я подробно расскажу, что вам нужно сделать, чтобы решить эту проблему.

Я думаю, что это честный вопрос CS, поэтому я попытаюсь показать, как я решил это. Обратите внимание, что с данным x может быть связано более 1 значения y. В случае, когда мне это было нужно, это гарантированно не имело места, поэтому вам нужно будет выяснить, как определить, какой из них вам нужен.

Я повторил t, создав массив значений x и y. Я сделал это в достаточно высоком для своих целей разрешении. (Я хотел создать 8-битную справочную таблицу, поэтому я использовал ~ 1000 точек.) Я просто вставил t в уравнение Безье для следующих координат x и следующих y, чтобы сохранить в массиве. После того, как я сгенерировал все, я просмотрел массив, чтобы найти 2 ближайших значения x. (Или, если было точное совпадение, использовал это.) Затем я сделал линейную интерполяцию на этом очень маленьком отрезке линии, чтобы получить нужное значение y.

Дальнейшая разработка выражения должна избавить вас от (1 - t) факторов

Если вы запустите:

expand(800*t^3 + 3*(1-t)*800*t^2 + 3*(1-t)^2*600*t + (1-t)^3*100 -400 = 0);

В wxMaxima или Maple (хотя вы должны добавить в этот параметр t), вы получите:

100*t^3 - 900*t^2 + 1500*t - 300 = 0

Решите новое кубическое уравнение для t (вы можете использовать формулу кубического уравнения для этого), после того, как у вас есть t, вы можете обнаружить, что x выполняет:

x = (x4 - x0) * t      (asuming x4 > x0) 

Уравнение для кривой Безье (получение значения x):

Bx = (-t^3 + 3*t^2 - 3*t + 1) * P0x + 
     (3*t^3 - 6*t^2 + 3*t) * P1x + 
     (-3*t^3 + 3*t^2) * P2x + 
     (t^3) * P3x

Переставить в виде кубика т.

0  = (-P0x + 3*P1x - 3*P2x + P3x) * t^3+ 
     (3*P0x - 6*P1x + 3*P2x) * t^2 + 
     (-3*P0x + 3*P1x) * t + 
     (P0x) * P3x - Bx

Решите это, используя кубическую формулу, чтобы найти значения для t. Может быть несколько реальных значений t (если ваша кривая дважды пересекает одну и ту же точку x). В моем случае я имел дело с ситуацией, когда всегда было только одно значение y для любого значения x. Так что я смог просто взять единственный реальный корень в качестве значения t.

a = -P0x + 3.0 * P1x - 3.0 * P2x + P3x;
b = 3.0 * P0x - 6.0 * P1x + 3.0 * P2x;
c = -3.0 * P0x + 3.0 * P1x;
d = P0x;
t = CubicFormula(a, b, c, d);

Затем верните значение t в кривую Безье для y.

By = (1-t)^3 * P0x + 
     3t(1-t)^2 * P1x + 
     3t^2(1-t) * P2x + 
     t^3 * P3x

Итак, я искал какой-то метод, который позволил бы мне найти координату Y на кубической кривой Безье, учитывая координату x на ней.

Рассмотрим кубическую кривую Безье между точками (0, 0) и (0, 100) с контрольными точками в (0, 33) и (0, 66). Существует бесконечное количество Y для данного X. Таким образом, нет никакого уравнения, которое решало бы Y для данного X для произвольной кубической кривой Безье.

Для надежного решения вы, вероятно, захотите начать с алгоритма Де Кастельжау

Рекурсивно разделите кривую, пока отдельные сегменты не станут приближаться к прямой. Затем вы можете определить, пересекают ли эти различные линейные сегменты ваш x, и где это, или являются ли они сегментами вертикальной линии, чей x соответствует x, который вы ищете (мой пример выше).