Как я могу получить широту и долготу от x, y на карте Меркатора (JPEG)?

Вот вам код ... Дайте мне знать, если вам нужно больше объяснений.

    /// <summary>
    /// Calculates the Y-value (inverse Gudermannian function) for a latitude. 
    /// <para><see cref="http://en.wikipedia.org/wiki/Gudermannian_function"/></para>
    /// </summary>
    /// <param name="latitude">The latitude in degrees to use for calculating the Y-value.</param>
    /// <returns>The Y-value for the given latitude.</returns>
    public static double GudermannianInv(double latitude)
    {
        double sign = Math.Sign(latitude);
        double sin = Math.Sin(latitude * RADIANS_PER_DEGREE * sign);
        return sign * (Math.Log((1.0 + sin) / (1.0 - sin)) / 2.0);
    }

    /// <summary>
    /// Returns the Latitude in degrees for a given Y.
    /// </summary>
    /// <param name="y">Y is in the range of +PI to -PI.</param>
    /// <returns>Latitude in degrees.</returns>
    public static double Gudermannian(double y)
    {
        return Math.Atan(Math.Sinh(y)) * DEGREES_PER_RADIAN;
    }

Google и т. Д. Используют «сферический Меркатор», проекцию Меркатора, использующую сферическую модель Земли, а не более медленные и более сложные эллиптические уравнения.

Преобразования доступны как часть кода OpenLayers:

http://docs.openlayers.org/library/spherical_mercator.html

Ответ Эриха Мирабала был полностью правильным (если не полностью).

Я только что протестировал его, используя «теоретический тайл Меркатора 256x256» (единственная тайловая версия карты мира от Google).

Вот еще немного кода (JavaScript, но легко понять) для пояснения.

Я живу в Австралии, на широте около -33 °.

convertRange(
    GudermannianInv(-33), 
    [Math.PI, - Math.PI], 
    [0, 256]
);

152.88327883810192

Если вы отсчитаете 152 пикселя вниз от вершины плитки, вы найдете Австралию. Я также убедился, что этот ответ верен, сравнив результат с заведомо исправными функциями.

Конечно, мы можем отменить этот расчет:

Gudermannian(
    convertRange(
        152.88, 
        [0, 256], 
        [Math.PI, - Math.PI]
));

И нам возвращается -32.99613291758226.

Сложность не в функции Гудермана, а в преобразовании между двумя шкалами.

К счастью, я был довольно ленив и ненавидел подобные проблемы с масштабированием, и у меня уже была небольшая функция, которая могла бы сделать это беспорядочное преобразование за меня.

    /**
     * convert number from _n_ of r1[0] .. r1[1] to _n_ of r2[0] .. r2[1]
     * @example `convertRange( 5, [0, 10], [0, 100] ) === 50`
     *
     * @param {number} value
     * @param {array<number>} r1 old range
     * @param {array<number>} r2 new range
     * @returns {number} value adjusted for new range
     */
    function convertRange( value, r1, r2 ) {
        return ( value - r1[0] )
             * ( r2[1] - r2[0] )
             / ( r1[1] - r1[0] )
             +   r2[0];
    }

И, естественно, версии исходных функций JavaScript:

function Gudermannian(y) {
    return Math.atan(Math.sinh(y)) * (180 / Math.PI)
}

function GudermannianInv(latitude)
{
    var sign = Math.sign(latitude);
    var sin  = Math.sin(
                          latitude 
                        * (Math.PI / 180) 
                        * sign
    );
    return sign * (
        Math.log(
            (1 + sin) / (1 - sin)
        ) / 2
    );
}

Я сделал что-то похожее. Особенно, если у вас есть изображение из какой-то части мира. Обрезанная карта или просто неполная карта мира: https://stackoverflow.com/a/10401734/730823

Важное замечание при выполнении инверсии заключается в том, что не существует такой вещи, как «карта меркатора», как в случае с большинством других картографических проекций. Каждая существующая карта меркатора отличается в зависимости от входного значения phi. Согласно Википедии, Google использует 85.051129, а другие поставщики карт используют 85.05113. Следовательно, входные значения для гудерманиана должны масштабироваться на основе, например, GudermannianInv (85.05113).