Как получить ортогональные расстояния векторов от плоскости в Numpy/Scipy?

Более явный способ получить ответ @Jaime, вы могли бы четко указать конструкцию оператора проекции:

def normalized(v):
    return v/np.sqrt( np.dot(v,v))
def ortho_proj_vec(v, uhat ):
    '''Returns the projection of the vector v  on the subspace
    orthogonal to uhat (which must be a unit vector) by subtracting off
    the appropriate multiple of uhat.
    i.e. dot( retval, uhat )==0
    '''
    return v-np.dot(v,uhat)*uhat

def ortho_proj_array( Varray, uhat ):
     ''' Compute the orhogonal projection for an entire array of vectors.
     @arg Varray:  is an array of vectors, each row is one vector
          (i.e. Varray.shape[1]==len(uhat)).
     @arg uhat: a unit vector
     @retval : an array (same shape as Varray), where each vector
               has had the component parallel to uhat removed.
               postcondition: np.dot( retval[i,:], uhat) ==0.0
               for all i. 
    ''' 
    return Varray-np.outer( np.dot( Varray, uhat), uhat )




# We need to ensure that the vectors defining the subspace are unit norm
v1hat=normalized( v1 )

# now to deal with v2, we need to project it into the subspace
# orhogonal to v1, and normalize it
v2hat=normalized( ortho_proj(v2, v1hat ) )
# TODO: if np.dot( normalized(v2), v1hat) ) is close to 1.0, we probably
# have an ill-conditioned system (the vectors are close to parallel)



# Act on each of your data vectors with the projection matrix,
# take the norm of the resulting vector.
result=np.zeros( M.shape[0], dtype=M.dtype )
for idx in xrange( M.shape[0] ):
    tmp=ortho_proj_vec( ortho_proj_vec(M[idx,:], v1hat), v2hat )             
    result[idx]=np.sqrt(np.dot(tmp,tmp))

 # The preceeding loop could be avoided via
 #tmp=orhto_proj_array( ortho_proj_array( M, v1hat), v2hat )
 #result=np.sum( tmp**2, axis=-1 )
 # but this results in many copies of matrices that are the same 
 # size as M, so, initially, I prefer the loop approach just on
 # a memory usage basis.

На самом деле это просто обобщение процедуры ортогонализации Грама-Шмидта. обратите внимание, что в конце этого процесса у нас есть np.dot(v1hat, v1hat.T)==1, np.dot(v2hat,v2hat.T)==1, np.dot(v1hat, v2hat)==0 (с точностью до числовой точности)

Вам нужно построить единичную нормаль к плоскости:

В трех измерениях это легко сделать:

nhat=np.cross( v1, v2 )
nhat=nhat/np.sqrt( np.dot( nhat,nhat) )

а затем расставить точки над каждым из ваших векторов; я предполагаю, что это матрица Nx3 M

result=np.zeros( M.shape[0], dtype=M.dtype )
for idx in xrange( M.shape[0] ):
    result[idx]=np.abs(np.dot( nhat, M[idx,:] ))

так что result[idx] — это расстояние вектора idx'th от плоскости.

ИЗМЕНИТЬ Исходный код, который я написал, не работает должным образом, поэтому я удалил его. Но следуя той же идее, объясненной ниже, если вы потратите некоторое время на размышления, правило Крамера не понадобится, и код можно немного упростить следующим образом:

def distance(v1, v2, u) :
    u = np.array(u, ndmin=2)
    v = np.vstack((v1, v2))
    vv = np.dot(v, v.T) # shape (2, 2)
    uv = np.dot(u, v.T) # shape (n ,2)
    ab = np.dot(np.linalg.inv(vv), uv.T) # shape(2, n)
    w = u - np.dot(ab.T, v)
    return np.sqrt(np.sum(w**2, axis=1)) # shape (n,)

Чтобы убедиться, что он работает правильно, я упаковал код Дэйва в функцию как distance_3d и попробовал следующее:

>>> d, n = 3, 1000
>>> v1, v2, u = np.random.rand(d), np.random.rand(d), np.random.rand(n, d)
>>> np.testing.assert_almost_equal(distance_3d(v1, v2, u), distance(v1, v2, u))

Но, конечно, теперь это работает для любого d:

>>> d, n = 1000, 3
>>> v1, v2, u = np.random.rand(d), np.random.rand(d), np.random.rand(n, d)
>>> distance(v1, v2, u)
array([ 10.57891286,  10.89765779,  10.75935644])

Вы должны разложить свой вектор, назовем его u, в сумме двух векторов, u = v + w, v находятся в плоскости, поэтому их можно разложить как v = a * v1 + b * v2, а w перпендикулярно плоскости, и, таким образом, np.dot(w, v1) = np.dot(w, v2) = 0.

Если вы напишите u = a * v1 + b * v2 + w и возьмете скалярное произведение этого выражения с v1 и v2, вы получите два уравнения с двумя неизвестными:

np.dot(u, v1) = a * np.dot(v1, v1) + b * np.dot(v2, v1)
np.dot(u, v2) = a * np.dot(v1, v2) + b * np.dot(v2, v2)

Поскольку это всего лишь система 2x2, мы можем решить ее, используя правило Крамера:

uv1 = np.dot(u, v1)
uv2 = np.dot(u, v2)
v11 = np.dot(v1, v2)
v22 = np.dot(v2, v2)
v12 = np.dot(v1, v2)
v21 = np.dot(v2, v1)
det = v11 * v22 - v21 * v12
a = (uv1 * v22 - v21 * uv2) / det
b = (v11 * uv2 - uv1 * v12) / det

Отсюда вы можете получить:

w = u - v = u - a * v1 - b * v2

а расстояние до плоскости является модулем w.