Как я могу создать функции, которые обрабатывают многочлены?

Я бы рекомендовал использовать numpy.poly1d и numpy.polymul, где коэффициенты равны a0*x2 + a1*x + a2.

Например, чтобы представить 3*x**2 + 2*x + 1:

p1 = numpy.poly1d([3,2,1])

И с получившимся объектом poly1d вы можете работать, используя *, / и так далее...:

print(p1*p1)
#   4      3      2
#9 x + 12 x + 10 x + 4 x + 1

Если вы хотите построить свои собственные функции, предполагая, что p содержит коэффициенты по порядку: a0 + a1*x + a2*x**2 + ...:

def eval_polynomial(p,x):
    return sum((a*x**i for i,a in enumerate(p)))

def multiply_by_one_term(p, a, k):
    return [0]*k + [a*i for i in p]

Примечание

В моей функции оценки используются экспоненты, которых можно избежать с помощью правила Хорнера, как указано в другом ответе, который доступен в функции polyval Numpy.

Вместо этого используйте метод Хорнера!

Для многочленов следует использовать метод Хорнера. Его главная особенность заключается в том, что для вычисления многочлена порядка N требуется только N умножений и N сложений — никаких экспонент:

def eval_polynomial(P, x):
    '''
    Compute polynomial P(x) where P is a vector of coefficients, highest
    order coefficient at P[0].  Uses Horner's Method.
    '''
    result = 0
    for coeff in P:
        result = x * result + coeff
    return result

>>> eval_poly([1, 0, 3], 2)
7

Вы можете работать с ним вручную или перейти по ссылке, чтобы увидеть, как это работает.