Проверка того, пересекает ли линейный сегмент сферу

Я не знаю, что это за стандартный способ, но если вы хотите знать, пересекается ли оно, вот что я бы сделал.

Общее правило ... избегайте выполнения sqrt () или других дорогостоящих операций. По возможности работайте с квадратом радиуса.

1. Определите, находится ли начальная точка внутри радиуса сферы. Если вы знаете, что это не так, пропустите этот шаг. Если вы внутри, ваш луч пересечет сферу.

С этого момента ваша отправная точка находится за пределами сферы.

2. Теперь представьте себе маленькую коробку, которая уместится в сфере. Если вы находитесь за пределами этого поля, проверьте направление x, y и z луча, чтобы увидеть, будет ли он пересекать сторону прямоугольника, с которой начинается ваш луч. Это должна быть простая проверка знаков или сравнение с нулем. Если вы находитесь вне и удаляетесь от него, вы никогда не пересечете его.

С этого момента вы находитесь в более сложной фазе. Ваша отправная точка находится между воображаемым ящиком и сферой. Вы можете получить упрощенное выражение, используя исчисление и геометрию.

Суть того, что вы хотите сделать, это определить, меньше ли кратчайшее расстояние между вашим лучом и сферой, чем радиус сферы.

Пусть ваш луч представлен в виде (x0 + i t, y0 + j t, z0 + k t), а центр вашей сферы находится в точке (xS, yS, zS). Итак, мы хотим найти t такое, чтобы получить наименьшее из (xS - x0 - i t, yS - y0 - j t, zS - z0 - k t).

Пусть x = xS - x0, y = yX - y0, z = zS - z0, D = величина вектора в квадрате

D = x^2 -2*xit + (i*t)^2 + y^2 - 2*yjt + (j*t)^2 + z^2 - 2*zkt + (k*t)^2

D = (i^2 + j^2 + k^2)t^2 - (xi + yj + zk)*2*t + (x^2 + y^2 + z^2)

dD/dt = 0 = 2*t*(i^2 + j^2 + k^2) - 2*(xi + yj + z*k)

t = (xi + yj + z*k) / (i^2 + j^2 + k^2)

Подставьте t обратно в уравнение для D = .... Если результат меньше или равен квадрату радиуса сферы, у вас есть пересечение. Если больше, то пересечения нет.

Если вас интересует только знание того, пересекается ли он или нет, тогда ваш основной алгоритм будет выглядеть так ...

Предположим, у вас есть вектор лучевой линии, A -> B.

Вы знаете, что кратчайшее расстояние между этим вектором и центром сферы находится на пересечении вашего вектора луча и вектора, который находится под углом 90 градусов к этому вектору, который проходит через центр сферы.

Таким образом, у вас есть два вектора, уравнения которых полностью определены. Вы можете определить точку пересечения векторов с помощью линейной алгебры и, следовательно, длину линии (или, что более эффективно, квадрат длины линии) и проверить, меньше ли она радиуса (или квадрата радиуса ) вашей сферы.

На этой странице есть точное решение этой проблемы. По сути, вы подставляете уравнение для линии в уравнение для сферы, а затем вычисляете дискриминант полученной квадратичной кривой. Значения дискриминанта указывают на пересечение.

вы все равно должны работать с этой позицией, если хотите точности. Единственный способ алгоритмически улучшить скорость - это переключиться с пересечения лучевой сферы на пересечение лучевого ограничивающего прямоугольника.

Или вы можете пойти глубже и попытаться улучшить sqrt и другие внутренние вызовы функций.

http://wiki.cgsociety.org/index.php/Ray_Sphere_Intersection