Получить площадь поверхности многогранника (3D-объекта)

Поскольку вы говорите, что это многогранник, ссылка укладчика (http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm).

Вот мой примерный перевод кода C на C # для вашей ситуации:

// NOTE: The original code contained the following notice:
// ---------------------------------------
// Copyright 2000 softSurfer, 2012 Dan Sunday
// This code may be freely used and modified for any purpose
// providing that this copyright notice is included with it.
// iSurfer.org makes no warranty for this code, and cannot be held
// liable for any real or imagined damage resulting from its use.
// Users of this code must verify correctness for their application.
// ---------------------------------------
// area3D_Polygon(): computes the area of a 3D planar polygon
//    Input:  int n = the number of vertices in the polygon
//            Point[] V = an array of n+2 vertices in a plane
//                       with V[n]=V[0] and V[n+1]=V[1]
//            Point N = unit normal vector of the polygon's plane
//    Return: the (float) area of the polygon
static float
area3D_Polygon( int n, Point3D[] V, Point3D N )
{
    float area = 0;
    float an, ax, ay, az;  // abs value of normal and its coords
    int   coord;           // coord to ignore: 1=x, 2=y, 3=z
    int   i, j, k;         // loop indices

    // select largest abs coordinate to ignore for projection
    ax = (N.x>0 ? N.x : -N.x);     // abs x-coord
    ay = (N.y>0 ? N.y : -N.y);     // abs y-coord
    az = (N.z>0 ? N.z : -N.z);     // abs z-coord

    coord = 3;                     // ignore z-coord
    if (ax > ay) {
        if (ax > az) coord = 1;    // ignore x-coord
    }
    else if (ay > az) coord = 2;   // ignore y-coord

    // compute area of the 2D projection
    for (i=1, j=2, k=0; i<=n; i++, j++, k++)
        switch (coord) {
        case 1:
            area += (V[i].y * (V[j].z - V[k].z));
            continue;
        case 2:
            area += (V[i].x * (V[j].z - V[k].z));
            continue;
        case 3:
            area += (V[i].x * (V[j].y - V[k].y));
            continue;
        }

    // scale to get area before projection
    an = Math.Sqrt( ax*ax + ay*ay + az*az);  // length of normal vector
    switch (coord) {
    case 1:
        area *= (an / (2*ax));
        break;
    case 2:
        area *= (an / (2*ay));
        break;
    case 3:
        area *= (an / (2*az));
        break;
    }
    return area;
}

Я проголосовал за несколько ответы, которые я считаю правильными. Но я думаю, что самый простой способ сделать это - независимо от того, в 2D он или в 3D, - использовать следующую формулу:

area = sum(V(i+1) × V(i))/2;

Где × - это векторный крест.

Код для этого:

    public double Area(List<Point3D> PtList)
    {

        int nPts = PtList.Count;
        Point3D a;
        int j = 0;

        for (int i = 0; i < nPts; ++i)
        {
            j = (i + 1) % nPts;
            a += Point3D.Cross(PtList[i], PtList[j]);
        }
        a /= 2;
        return Point3D.Distance(a,default(Point3D));
    }

    public static Point3D Cross(Point3D v0, Point3D v1)
    {
        return new Point3D(v0.Y * v1.Z - v0.Z * v1.Y,
            v0.Z * v1.X - v0.X * v1.Z,
            v0.X * v1.Y - v0.Y * v1.X);
    }

Обратите внимание, что решение не зависит от проекции на плоскость x, что я считаю неуклюжим.

Что вы думаете?

Вы имеете в виду Площадь трехмерных плоских многоугольников?

1. http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm
2. http://local.wasp.uwa.edu.au/%7Epbourke/geometry/area3d/
3. http://thebuildingcoder.typepad.com/blog/2008/12/3d-polygon-areas.html

Я не знаю, как оптимизировать этот метод (я раньше не делал этого в коде), но математический подход к нему состоит в том, чтобы разделить вашу фигуру на треугольники, площадь которых затем легко вычисляется и суммируется. (Помните: площадь треугольника равна ширине * высоте * 0,5 - вам нужно рассчитать высоту непрямых треугольников.)

Выполнение этого в 3D обычно означает, что на каждом этапе требуется еще один расчет. Например, в 2D расстояние между двумя точками (длина стороны вашей фигуры) рассчитывается примерно так (псевдокод, потому что у меня нет VS на этой машине):

double DistanceBetween(Point a, Point b)
{
   double dx = a.x - b.x;
   double dy = a.y - b.y;
   return SquareRoot(dx*dx + dy*dy);
}

В трех измерениях это становится:

double DistanceBetween(Point3d a, Point3d b)
{
   double dx = a.x - b.x;
   double dy = a.y - b.y;
   double dz = a.z - b.z;
   return SquareRoot(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
}

Разделение фигуры на произвольные треугольники включает в себя выбор любых трех смежных вершин за раз, пока вы не дойдете до последних трех.

Другое решение, которое не потребует от вас создания сетки из многоугольников, - это сделать контурный интеграл по периметру. Вы используете теорему Грина для преобразования интеграла площади в контурный интеграл, а затем используете что-то простое, например квадратура Гаусса для интегрирования и суммирования каждого вклада. У вас обязательно должно быть определение периметра.

Этот процесс может работать с 2D-фигурами, в которых также есть отверстия. Вам просто нужно определить разрез, который проходит от внешнего периметра к отверстию, объединяется вокруг отверстия, а затем возвращается к периметру.

@Graviton Я не могу комментировать ответ выше, поэтому отправлю новый.

Возможно, я не знаком с синтаксисом C #, но я считаю, что в вашем ответе отсутствует скалярное произведение с единичным вектором нормали. Формула должна быть такой:

area = n.sum( V(i+1) x V(i) )/2;

где n относится к единичному вектору нормали к плоскости, . к скалярному произведению и x перекрестному произведению.

Нормаль можно вычислить, используя любые 3 вектора многоугольника:

n = (V1-V0)x(V2-V0)/magnitude((V1-V0)x(V2-V0))

Вот реализация javascript с использованием библиотеки Vector.js:

  function getArea (vecs) {
    var area = 0;
    var vecs = [];
    var j = 0;
    var a = new Vector(0,0,0);

    for (var i = 0; i < vecs.length; i++) {
      j = (i + 1) % vecs.length;
      a = a.add( vecs[i].cross(vecs[j]) );
    }
    a = a.divide(2);
    var v1 = vecs[1].subtract(vecs[0]);
    var v2 = vecs[2].subtract(vecs[0]);
    var normal = v1.cross(v2);
    normal = normal.unit();
    // area = a.length()/10000; // convert to m2
    area = (normal.dot(a))/10000;
    return area;
  };

Вы можете получить решение в терминах 2D-решения.

Рассмотрим многоугольник, составленный из кучи меньших треугольников.

Спроецируйте каждый треугольник обратно в плоскость XY. Вы можете показать, что площадь исходного треугольника в 1 / (n.k) умножена на площадь проецируемого треугольника. (Здесь n - единичная нормаль к плоскости, содержащей многоугольник, а k - единичный вектор в направлении z)

Таким образом, общая площадь оригинала равна 1 / (n.k), ​​умноженному на площадь многоугольника, спроецированного на плоскость XY. Что вы можете решить, используя существующую 2D-формулу.

Вы можете вычислить n как (e1 x e2) / || e1 x e2 || где e1 и e2 - любые 2 непараллельных ребра многоугольника.

Конечно, вы можете получить лучшие (более точные) результаты, проецируя на плоскость XZ или YZ .. вы должны выбрать тот, нормаль которого наиболее близка к вашей плоскости.