Оценка доверительных интервалов вокруг фильтра Калмана

Я работал над внедрением фильтра Калмана для поиска аномалий в двумерном наборе данных. Очень похоже на отличный пост, который я нашел здесь. В качестве следующего шага я хотел бы предсказать доверительные интервалы (например, 95% достоверности для значений пола и потолка) для того, что, как я предсказываю, попадут следующие значения. Поэтому в дополнение к строке ниже я хотел бы быть может генерировать две дополнительные линии, которые представляют 95% уверенность в том, что следующее значение будет выше пола или ниже потолка.

Я предполагаю, что хочу использовать ковариационную матрицу неопределенности (P), которая возвращается с каждым прогнозом, сгенерированным фильтром Калмана, но я не уверен, что это правильно. Любое руководство или ссылка на то, как это сделать, будут высоко оценены!

фильтр Kalman 2d в python

Код в посте выше генерирует набор измерений с течением времени и использует фильтр Калмана для сглаживания результатов.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def kalman_xy(x, P, measurement, R,
              motion = np.matrix('0. 0. 0. 0.').T,
              Q = np.matrix(np.eye(4))):
    """
Parameters:    
x: initial state 4-tuple of location and velocity: (x0, x1, x0_dot, x1_dot)
P: initial uncertainty convariance matrix
measurement: observed position
R: measurement noise 
motion: external motion added to state vector x
Q: motion noise (same shape as P)
"""
return kalman(x, P, measurement, R, motion, Q,
              F = np.matrix('''
                  1. 0. 1. 0.;
                  0. 1. 0. 1.;
                  0. 0. 1. 0.;
                  0. 0. 0. 1.
                  '''),
              H = np.matrix('''
                  1. 0. 0. 0.;
                  0. 1. 0. 0.'''))

def kalman(x, P, measurement, R, motion, Q, F, H):
    '''
    Parameters:
    x: initial state
    P: initial uncertainty convariance matrix
    measurement: observed position (same shape as H*x)
    R: measurement noise (same shape as H)
    motion: external motion added to state vector x
    Q: motion noise (same shape as P)
    F: next state function: x_prime = F*x
    H: measurement function: position = H*x

    Return: the updated and predicted new values for (x, P)

    See also http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

    This version of kalman can be applied to many different situations by
    appropriately defining F and H 
    '''
    # UPDATE x, P based on measurement m    
    # distance between measured and current position-belief
    y = np.matrix(measurement).T - H * x
    S = H * P * H.T + R  # residual convariance
    K = P * H.T * S.I    # Kalman gain
    x = x + K*y
    I = np.matrix(np.eye(F.shape[0])) # identity matrix
    P = (I - K*H)*P

    # PREDICT x, P based on motion
    x = F*x + motion
    P = F*P*F.T + Q

    return x, P

def demo_kalman_xy():
    x = np.matrix('0. 0. 0. 0.').T 
    P = np.matrix(np.eye(4))*1000 # initial uncertainty

    N = 20
    true_x = np.linspace(0.0, 10.0, N)
    true_y = true_x**2
    observed_x = true_x + 0.05*np.random.random(N)*true_x
    observed_y = true_y + 0.05*np.random.random(N)*true_y
    plt.plot(observed_x, observed_y, 'ro')
    result = []
    R = 0.01**2
    for meas in zip(observed_x, observed_y):
        x, P = kalman_xy(x, P, meas, R)
        result.append((x[:2]).tolist())
    kalman_x, kalman_y = zip(*result)
    plt.plot(kalman_x, kalman_y, 'g-')
    plt.show()

demo_kalman_xy()