Обрабатывает ли преобразование Фурье только периодический сигнал?

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) определяет связь между N-точечной последовательностью во временной области x[n], n=0..N-1, и N-точечной последовательностью в частотной области (отсчеты преобразования Фурье равномерно распределены между \omega = 0 и 2\pi) X[k], k=0..N-1. Прямое преобразование задается:

X[k] = 1/N \sum_{n=0}^{N-1} x[n] exp{-j 2\pi k.n/N}

что может быть выражено как матрица, умноженная

X = D x

где x и X - векторы-столбцы из N элементов, соответствующие временной и частотной областям, а D - матрица ДПФ размером N на N,

D_{kn} = 1/N exp{-j 2\pi k.n/N}

(и, таким образом, обратное преобразование тривиально получается из матрицы, обратной D).

Таким образом, вы можете вычислить X[k] для любой N-точечной входной последовательности x[n], и даже не имеет особого смысла определять периодичность для последовательности конечной длины. Если x[n] можно разбить на несколько точно повторяющихся частей (например, повторяющуюся N/2 точечную последовательность), то мы увидим соответствующую структуру в X[k] (все нечетные спектральные отсчеты будут нулевыми для этого пример).

Теперь вы можете интерпретировать ДПФ как преобразование Фурье периодической последовательности бесконечной продолжительности, состоящей из бесконечного числа повторений N-точечной последовательности во временной области, с которой вы начинаете. В этом случае значения ДПФ X[k] соответствуют весам дельт Дирака, которые составляют спектр этой последовательности бесконечной энергии (но конечной мощности).

Но вы также можете интерпретировать это как выборку преобразования Фурье последовательности конечной длины, что эквивалентно последовательности бесконечной продолжительности, которая оказывается отличной от нуля только в конечном диапазоне N точек. В этом случае значения X[k] представляют собой конечнозначные выборки полного преобразования Фурье с непрерывной частотой.

Да, ты можешь. Хорошее объяснение сделано здесь. Прямое цитирование ниже. ( http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e12/Lectures/FourierXform/FourierXFormI.html )

Кажется, что у периодической функции не будет преобразования Фурье, потому что она нарушает первый из критериев сходимости. Однако, если мы допускаем импульсные функции, мы можем обойти это ограничение (это позволит нам использовать преобразования Фурье как для периодических, так и для апериодических функций).

Рассмотрим функцию частотной области, которая представляет собой простой импульс, масштабированный на 2p (коэффициент масштабирования будет удобен чуть позже).

Мы можем найти соответствующую функцию во временной области, вычислив обратное преобразование Фурье,

(Последний шаг был выполнен с использованием свойства отсеивания импульсной функции.) Обратите внимание, что функция временной области x(t) является периодической. Итак, если мы допустим импульсы в области Фурье, мы можем иметь периодические функции во временной области. Это был особый случай, но мы можем представить любую периодическую функцию (с учетом критериев сходимости, подобных критериям для ряда Фурье) с помощью преобразования Фурье. Сначала рассмотрим преобразование Фурье, которое представляет собой бесконечную сумму импульсов (это надумано, но упрощает до чего-то полезного).

(Этот вывод также использует свойство просеивания.) Таким образом, чтобы найти преобразование Фурье периодического сигнала, x(t), сначала найдите коэффициенты ряда Фурье, cn, затем