Быстрые логарифмы произвольной точности с bcmath

Вам нужна строка произвольной длины в качестве ответа? Или вам нужна произвольная точность или произвольная экспонента? Или… будет достаточно ответа с плавающей запятой двойной точности (возвращаемое значение); учитывая, что мы "только" работаем с логарифмом числа "произвольного" размера?

Числа с плавающей запятой двойной точности имеют 11-битную экспоненту со знаком: поэтому, если ваша строка больших чисел имеет длину ≤1022 бита ≈ 307 десятичных цифр (то есть длина строки 306 символов, включая десятичную точку), вы в безопасности! Точнее, вы должны быть в безопасности, если абсолютное значение результирующего десятичного показателя степени ≤307. Вам нужны более высокие показатели, чем это? (Я полагаю, другими словами: вы работаете с реальными числами или с теоретической/чистой математикой?)

Почему бы просто не использовать обработку строк вместе с простой логарифмической арифметикой с плавающей запятой? Это должно быть очень быстро для любых реальных чисел…

function bclog10($n){
    //←Might need to implement some validation logic here!
    $pos=strpos($n,'.');
    if($pos===false){
        $dec_frac='.'.substr($n,0,15);$pos=strlen($n);
    }else{  $dec_frac='.'.substr(substr($n,0,$pos).substr($n,$pos+1),0,15);
    }
    return log10((float)$dec_frac)+(float)$pos;
}

Вы можете преобразовать базу, используя хорошо известную логарифмическую арифметику:

function bclogn($n,$base=M_E){//$base should be float: default is e
    return bclog10($n)*log(10)/log($base);
}

Я протестировал эти функции, и они работают для меня, для примеров, которые я предоставил; дает точно такие же ответы, как калькулятор Windows 10, вплоть до пределов арифметики двойной точности, используемой PHP.

Если вам на самом деле нужно более 15 цифр точности и более 307 для десятичной экспоненты, вы можете реализовать свой собственный объект класса «BigFloat» и каким-то образом построить его методы из стандартных встроенных функций с плавающей запятой, используя принцип «разделяй и властвуй»! Затем, возможно, мы могли бы использовать это как основу алгоритма логарифмирования с плавающей запятой произвольной точности, объединив это с функциями/методами, описанными выше. Возможно, вы захотите проконсультироваться с людьми на math.stackexchange.com, чтобы узнать больше о том, возможен ли такой подход.

БОЛЬШОЕ ИЗМЕНЕНИЕ: вторая попытка…

function bclog10($n){//By Matthew Slyman @aaabit.com
    $m=array();// ↓ Validation, matching/processing regex…
    preg_match('/^(-)?0*([1-9][0-9]*)?(\.(0*))?([1-9][0-9]*)?([Ee](-)?0*([1-9][0-9]*))?$/',$n,$m);
    if(!isset($m[1])){throw new \Exception('Argument: not decimal number string!');}
    $sgn=$m[1];if($sgn==='-'){throw new \Exception('Cannot compute: log(<⁺0)!');}
    $abs=$m[2];$pos=strlen($abs);
    if(isset($m[4])){$fre=$m[4];}else{$fre='';}$neg=strlen($fre);
    if(isset($m[5])){$frc=$m[5];}else{$frc='';}
    if(isset($m[7])){$esgn=$m[7]==='-'?-1:1;}else{$esgn=1;}
    if(isset($m[8])){$eexp=$m[8];}else{$eexp=0;}
    if($pos===0){
        $dec_frac='.'.substr($frc,0,15);$pos=-1*$neg;
    }else{  $dec_frac='.'.substr($abs.$fre.$frc,0,15);
    }
    return log10((float)$dec_frac)+(float)$pos+($esgn*$eexp);
}