Универсальное программирование Arity в Agda

В качестве примера я возьму n-арную функцию композиции.

Самый простой вариант

open import Data.Vec.N-ary

comp : ∀ n {α β γ} {X : Set α} {Y : Set β} {Z : Set γ}
     -> (Y -> Z) -> N-ary n X Y -> N-ary n X Z
comp  0      g y = {!!}
comp (suc n) g f = {!!}

Вот как N-ary определяется в модуле Data.Vec.N-ary:

N-ary : ∀ {ℓ₁ ℓ₂} (n : ℕ) → Set ℓ₁ → Set ℓ₂ → Set (N-ary-level ℓ₁ ℓ₂ n)
N-ary zero    A B = B
N-ary (suc n) A B = A → N-ary n A B

т.е. comp получает число n, функцию g : Y -> Z и функцию f, которая имеет арность n и результирующий тип Y.

В случае comp 0 g y = {!!} имеем

Goal : Z
y    : Y
g    : Y -> Z

следовательно, дыру можно легко заполнить g y.

В случае comp (suc n) g f = {!!} N-ary (suc n) X Y уменьшается до X -> N-ary n X Y, а N-ary (suc n) X Z уменьшается до X -> N-ary n X Z. Итак, у нас есть

Goal : X -> N-ary n X Z
f    : X -> N-ary n X Y
g    : Y -> Z

C-c C-r уменьшает дыру до λ x -> {!!}, а теперь и до Goal : N-ary n X Z, которую можно заполнить comp n g (f x). Итак, все определение

comp : ∀ n {α β γ} {X : Set α} {Y : Set β} {Z : Set γ}
     -> (Y -> Z) -> N-ary n X Y -> N-ary n X Z
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

т.е. comp получает n аргументов типа X, применяет к ним f, а затем применяет g к результату.

Самый простой вариант с зависимой g

Когда g имеет тип (y : Y) -> Z y

comp : ∀ n {α β γ} {X : Set α} {Y : Set β} {Z : Y -> Set γ}
     -> ((y : Y) -> Z y) -> (f : N-ary n X Y) -> {!!}
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

что должно быть в яме? Мы не можем использовать N-ary n X Z как раньше, потому что Z теперь является функцией. Если Z — это функция, нам нужно применить ее к чему-то, имеющему тип Y. Но единственный способ получить что-то типа Y — применить f к n аргументам типа X. То же, что и наш comp, но только на уровне типа:

Comp : ∀ n {α β γ} {X : Set α} {Y : Set β}
     -> (Y -> Set γ) -> N-ary n X Y -> Set (N-ary-level α γ n)
Comp  0      Z y = Z y
Comp (suc n) Z f = ∀ x -> Comp n Z (f x)

И comp тогда есть

comp : ∀ n {α β γ} {X : Set α} {Y : Set β} {Z : Y -> Set γ}
     -> ((y : Y) -> Z y) -> (f : N-ary n X Y) -> Comp n Z f
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

Версия с аргументами разных типов

Существует статья "Arity-generic datatype-generic Programming", который описывает, среди прочего, как писать общие функции арности, которые получают аргументы разных типов. Идея состоит в том, чтобы передать вектор типов в качестве параметра и свернуть его в стиле N-ary:

arrTy : {n : N} → Vec Set (suc n) → Set
arrTy {0}     (A :: []) = A
arrTy {suc n} (A :: As) = A → arrTy As

Однако Agda не может вывести этот вектор, даже если мы укажем его длину. Следовательно, в документе также представлен оператор каррирования, который делает из функции, которая явно получает вектор типов, функцию, которая получает n неявных аргументов.

Этот подход работает, но он не масштабируется до полиморфных функций полной вселенной. Мы можем избежать всех этих проблем, заменив тип данных Vec оператором _^_:

_^_ : ∀ {α} -> Set α -> ℕ -> Set α
A ^ 0     = Lift ⊤
A ^ suc n = A × A ^ n

A ^ n изоморфен Vec A n. Тогда наш новый N-ary

_->ⁿ_ : ∀ {n} -> Set ^ n -> Set -> Set
_->ⁿ_ {0}      _      B = B
_->ⁿ_ {suc _} (A , R) B = A -> R ->ⁿ B

Все типы лежат в Set для простоты. comp сейчас

comp : ∀ n {Xs : Set ^ n} {Y Z : Set}
     -> (Y -> Z) -> (Xs ->ⁿ Y) -> Xs ->ⁿ Z
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

И вариант с зависимым g:

Comp : ∀ n {Xs : Set ^ n} {Y : Set}
     -> (Y -> Set) -> (Xs ->ⁿ Y) -> Set
Comp  0      Z y = Z y
Comp (suc n) Z f = ∀ x -> Comp n Z (f x)

comp : ∀ n {Xs : Set ^ n} {Y : Set} {Z : Y -> Set}
     -> ((y : Y) -> Z y) -> (f : Xs ->ⁿ Y) -> Comp n Z f
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

Полностью зависимый и полиморфный юниверс comp

Ключевая идея состоит в том, чтобы представить вектор типов как вложенные зависимые пары:

Sets : ∀ {n} -> (αs : Level ^ n) -> ∀ β -> Set (mono-^ (map lsuc) αs ⊔ⁿ lsuc β)
Sets {0}      _       β = Set β
Sets {suc _} (α , αs) β = Σ (Set α) λ X -> X -> Sets αs β

Второй случай читается как «существует такой тип X, что все остальные типы зависят от элемента X». Наш новый N-ary тривиален:

Fold : ∀ {n} {αs : Level ^ n} {β} -> Sets αs β -> Set (αs ⊔ⁿ β)
Fold {0}      Y      = Y
Fold {suc _} (X , F) = (x : X) -> Fold (F x)

Пример:

postulate
  explicit-replicate : (A : Set) -> (n : ℕ) -> A -> Vec A n

test : Fold (Set , λ A -> ℕ , λ n -> A , λ _ -> Vec A n) 
test = explicit-replicate

Но какие сейчас типы Z и g?

comp : ∀ n {β γ} {αs : Level ^ n} {Xs : Sets αs β} {Z : {!!}}
     -> {!!} -> (f : Fold Xs) -> Comp n Z f
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

Напомним, что f ранее имел тип Xs ->ⁿ Y, но Y теперь скрыт в конце этих вложенных зависимых пар и может зависеть от элемента любого X из Xs. Z ранее имел тип Y -> Set γ, поэтому теперь нам нужно добавить Set γ к Xs, сделав все x неявными:

_⋯>ⁿ_ : ∀ {n} {αs : Level ^ n} {β γ}
      -> Sets αs β -> Set γ -> Set (αs ⊔ⁿ β ⊔ γ)
_⋯>ⁿ_ {0}      Y      Z = Y -> Z
_⋯>ⁿ_ {suc _} (_ , F) Z = ∀ {x} -> F x ⋯>ⁿ Z

Хорошо, Z : Xs ⋯>ⁿ Set γ, какой тип у g? Раньше это был (y : Y) -> Z y. Снова нам нужно добавить что-то к вложенным зависимым парам, так как Y снова скрыто, только теперь зависимым образом:

Πⁿ : ∀ {n} {αs : Level ^ n} {β γ}
   -> (Xs : Sets αs β) -> (Xs ⋯>ⁿ Set γ) -> Set (αs ⊔ⁿ β ⊔ γ)
Πⁿ {0}      Y      Z = (y : Y) -> Z y
Πⁿ {suc _} (_ , F) Z = ∀ {x} -> Πⁿ (F x) Z

И наконец

Comp : ∀ n {αs : Level ^ n} {β γ} {Xs : Sets αs β}
     -> (Xs ⋯>ⁿ Set γ) -> Fold Xs -> Set (αs ⊔ⁿ γ)
Comp  0      Z y = Z y
Comp (suc n) Z f = ∀ x -> Comp n Z (f x)

comp : ∀ n {β γ} {αs : Level ^ n} {Xs : Sets αs β} {Z : Xs ⋯>ⁿ Set γ}
     -> Πⁿ Xs Z -> (f : Fold Xs) -> Comp n Z f
comp  0      g y = g y
comp (suc n) g f = λ x -> comp n g (f x)

Тест:

length : ∀ {α} {A : Set α} {n} -> Vec A n -> ℕ
length {n = n} _ = n

explicit-replicate : (A : Set) -> (n : ℕ) -> A -> Vec A n
explicit-replicate _ _ x = replicate x

foo : (A : Set) -> ℕ -> A -> ℕ
foo = comp 3 length explicit-replicate

test : foo Bool 5 true ≡ 5
test = refl

Обратите внимание на зависимость аргументов и результирующий тип explicit-replicate. Кроме того, Set лежит в Set₁, а ℕ и A лежат в Set — это иллюстрирует полиморфизм вселенной.

Примечания

Насколько я знаю, для неявных аргументов нет понятной теории, поэтому я не знаю, как все это будет работать, когда вторая функция (т.е. f) получит неявные аргументы. Этот тест:

foo' : ∀ {α} {A : Set α} -> ℕ -> A -> ℕ
foo' = comp 2 length (λ n -> replicate {n = n})

test' : foo' 5 true ≡ 5
test' = refl

пройдено по крайней мере.

comp не может обрабатывать функции, если юниверс, в котором лежит какой-то тип, зависит от значения. Например

explicit-replicate' : ∀ α -> (A : Set α) -> (n : ℕ) -> A -> Vec A n
explicit-replicate' _ _ _ x = replicate x

... because this would result in an invalid use of Setω ...
error : ∀ α -> (A : Set α) -> ℕ -> A -> ℕ
error = comp 4 length explicit-replicate'

Но это обычное дело для Agda, например. вы не можете применить явный id к себе:

idₑ : ∀ α -> (A : Set α) -> A -> A
idₑ _ _ x = x

-- ... because this would result in an invalid use of Setω ...
error = idₑ _ _ idₑ

код.