Вырваться из обещания, а затем связать с errorCallback

Фактически происходит следующее:

    try {
        try {
            var a = succCall();
        } catch(e1) {
            a = errCall(e1);
        }
        var b = loginSucc(a);
    } catch(e2) {
        b = loginErr(e2);
    }

Вы можете вырваться из цепочки, позвонив

return $q.reject('Reason Err was called');

в вашей функции errCall().

EDIT: Как заметил OP, вызвав $q.reject, код войдет в функцию loginErr. В качестве альтернативы вы можете изменить свой код следующим образом:

Auth.signup()
.then(function(a) {
    succCall()
    return loginSucc(a).then(null, loginErr);
}, errCall)

Вы можете прочитать больше в этих двух вопросах SO:

1. Разорвать цепочку обещаний
2. Break Out of then promises в Angularjs

Это также полезно прочитать: Сведение цепочек обещаний

Функция errCall должна возвращать обещание, и это обещание нужно отклонить, чтобы сработала функция loginErr.

function errCall(){
   // i do some things here and now

   return $q(function(resolve, reject) {
        // auto reject
        reject();
   });


}

В качестве альтернативы попробуйте .catch:

Auth.signup()
 .then(succCall)
 .then(loginSucc)
 .catch(function(err){
      // caught error, problem is you won't know which function errored out, so you'll need to look at the error response
 });

Просто не передавайте errCall или loginErr в then и используйте catch() в конце цепочки обещаний, и она будет прервана при первой ошибке, которая будет передана catch(). Если вы хотите явно обработать ошибку Auth.signup(), тогда ваш errCall должен выглядеть так:

function (err) {
  if(isFatal(err)) {
    return Promise.reject(new Error('Fatal!')); //`catch()` handler will be called with `new Error('Fatal!')`
  } else {
    return 'something'; //next `then()` handler will be called with 'something'
  }
}

Ваш лучший вариант — вернуть обещание, которое никогда не разрешается из errCall():

function errCall() {
     console.log('errCall');
     return $q.defer().promise;
}

Но вы правы, то, что вы пытаетесь сделать, «противоречит философии обещаний».

Почему вы не должны этого делать

Конечно, проблема заключается в том, что ваша функция loginSucc вызывается при возникновении ошибки во время оценки первого промиса. Однако это можно исправить, отклонив еще раз в errCall, как уже указывали другие. Но не стоит пытаться избежать выполнения loginErr, иначе с вашим кодом что-то концептуально не так.

Оценка выражения

Auth.signup().then(succCall, errCall)

дает другое обещание. Контракт заключается в том, что промис имеет метод then(), принимающий два обратных вызова в качестве параметров, один для успеха и один для неудачи. Контракт также заключается в том, что обратный вызов успеха вызывается, когда обещание оценивается успешно, и что обратный вызов ошибки/сбоя вызывается во всех других случаях. Если вы намерены никогда не вызывать ни один из них, не используйте обещание!