Есть ли метод, который я могу вызвать для создания случайной ортонормированной матрицы в python? Возможно, используя numpy? Или есть способ создать ортонормированную матрицу, используя несколько методов numpy? Спасибо.
Как создать случайную ортонормированную матрицу в python numpy
Ответы (7)
Это метод rvs
, извлеченный из https://github.com/scipy/scipy/pull/5622/files, с минимальными изменениями - достаточно, чтобы работать как отдельная функция numpy.
import numpy as np
def rvs(dim=3):
random_state = np.random
H = np.eye(dim)
D = np.ones((dim,))
for n in range(1, dim):
x = random_state.normal(size=(dim-n+1,))
D[n-1] = np.sign(x[0])
x[0] -= D[n-1]*np.sqrt((x*x).sum())
# Householder transformation
Hx = (np.eye(dim-n+1) - 2.*np.outer(x, x)/(x*x).sum())
mat = np.eye(dim)
mat[n-1:, n-1:] = Hx
H = np.dot(H, mat)
# Fix the last sign such that the determinant is 1
D[-1] = (-1)**(1-(dim % 2))*D.prod()
# Equivalent to np.dot(np.diag(D), H) but faster, apparently
H = (D*H.T).T
return H
Это соответствует тесту Уоррена, https://stackoverflow.com/a/38426572/901925.
Версия 0.18 scipy имеет scipy.stats.ortho_group
и scipy.stats.special_ortho_group
. Запрос на вытягивание, в котором он был добавлен: https://github.com/scipy/scipy/pull/5622
Например,
In [24]: from scipy.stats import ortho_group # Requires version 0.18 of scipy
In [25]: m = ortho_group.rvs(dim=3)
In [26]: m
Out[26]:
array([[-0.23939017, 0.58743526, -0.77305379],
[ 0.81921268, -0.30515101, -0.48556508],
[-0.52113619, -0.74953498, -0.40818426]])
In [27]: np.set_printoptions(suppress=True)
In [28]: m.dot(m.T)
Out[28]:
array([[ 1., 0., -0.],
[ 0., 1., 0.],
[-0., 0., 1.]])
Вы можете получить случайную n x n
ортогональную матрицу Q
(равномерно распределенную по множеству n x n
ортогональных матриц), выполнив QR
факторизацию n x n
матрицы с элементами i.i.d. Гауссовы случайные величины среднего значения 0
и дисперсии 1
. Вот пример:
import numpy as np
from scipy.linalg import qr
n = 3
H = np.random.randn(n, n)
Q, R = qr(H)
print (Q.dot(Q.T))
[[ 1.00000000e+00 -2.77555756e-17 2.49800181e-16] [ -2.77555756e-17 1.00000000e+00 -1.38777878e-17] [ 2.49800181e-16 -1.38777878e-17 1.00000000e+00]]
РЕДАКТИРОВАТЬ: (Пересматривая этот ответ после комментария @g g.) Вышеприведенное утверждение о QR-разложении гауссовой матрицы, обеспечивающей равномерно распределенную (по так называемому многообразию Штифеля) ортогональную матрицу, предлагается теоремами 2.3.18- 19 из этого справочника. Обратите внимание, что формулировка результата предполагает "QR-подобное" разложение, однако с треугольной матрицей R
, имеющей положительные элементы.
По-видимому, функция qr
функции scipy (numpy) не гарантирует положительных диагональных элементов для R
, и соответствующий Q
на самом деле не распределен равномерно. Это было замечено в эта монография, гл. 4.6 (обсуждение относится к MATLAB, но я думаю, что и MATLAB, и scipy используют одни и те же процедуры LAPACK). Там предлагается, чтобы матрица Q
, предоставленная qr
, была изменена путем последующего умножения ее на случайную унитарную диагональную матрицу.
Ниже я воспроизвожу эксперимент в приведенном выше справочнике, строя эмпирическое распределение (гистограмму) фаз собственных значений «прямой» матрицы Q
, предоставленной qr
, а также «модифицированной» версии, где видно, что модифицированная версия не действительно имеют однородную фазу собственного значения, как и следовало ожидать от равномерно распределенной ортогональной матрицы.
from scipy.linalg import qr, eigvals
from seaborn import distplot
n = 50
repeats = 10000
angles = []
angles_modified = []
for rp in range(repeats):
H = np.random.randn(n, n)
Q, R = qr(H)
angles.append(np.angle(eigvals(Q)))
Q_modified = Q @ np.diag(np.exp(1j * np.pi * 2 * np.random.rand(n)))
angles_modified.append(np.angle(eigvals(Q_modified)))
fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize = (10,3))
distplot(np.asarray(angles).flatten(),kde = False, hist_kws=dict(edgecolor="k", linewidth=2), ax= ax[0])
ax[0].set(xlabel='phase', title='direct')
distplot(np.asarray(angles_modified).flatten(),kde = False, hist_kws=dict(edgecolor="k", linewidth=2), ax= ax[1])
ax[1].set(xlabel='phase', title='modified');
qr
не дает равномерно распределенной ортогональной матрицы. Пожалуйста, смотрите отредактированный ответ для обходного пути.
- person Stelios; 28.04.2019
Q_modified = Q @ np.diag(np.sign(np.diag(R))
- person Andrew Swann; 06.04.2020
Простой способ создать ортогональную матрицу любой формы (n x m
):
import numpy as np
n, m = 3, 5
H = np.random.rand(n, m)
u, s, vh = np.linalg.svd(H, full_matrices=False)
mat = u @ vh
print(mat @ mat.T) # -> eye(n)
Обратите внимание, что если n > m
, он получит mat.T @ mat = eye(m)
.
rand
на randn
, чтобы получить равномерное распределение матриц. В противном случае лучший ответ на мой взгляд.
- person tglas; 21.12.2019
если вам нужна неквадратная матрица с ортонормированными векторами столбцов, вы можете создать квадратную матрицу любым из упомянутых методов и удалить некоторые столбцы.
from scipy.stats import special_ortho_group
num_dim=3
x = special_ortho_group.rvs(num_dim)
Numpy также имеет факторизацию qr. https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.qr.html
import numpy as np
a = np.random.rand(3, 3)
q, r = np.linalg.qr(a)
q @ q.T
# array([[ 1.00000000e+00, 8.83206468e-17, 2.69154044e-16],
# [ 8.83206468e-17, 1.00000000e+00, -1.30466244e-16],
# [ 2.69154044e-16, -1.30466244e-16, 1.00000000e+00]])