У меня есть некоторые данные формы
x1[i], x2[i], x3[i], z[i],
где z[i] — неизвестная детерминированная функция x1[i], x2[i], and x3[i]. Я хотел бы найти квадратичную функцию u(x1, x2, x3)= a11*x1^2 + a22*x2^2 + a33*x3^2 + a12*x1*x2 + ... + a0, которая превышает данные, т. Е. u(x1[i], x2[i], x3[i]) >= z[i] для всех i, и которая минимизирует сумму квадратов ошибок с учетом ограничений.
Существует ли вычислительно эффективный подход к решению в Python или Matlab?
Ваша проблема звучит как задача квадратичного программирования с линейными ограничениями. Существуют эффективные алгоритмы для их решения, и они также реализованы в Matlab и Python; см. quadprog и CVXOPT соответственно.
Есть очень простое решение. Просто используйте полиномиальную регрессию в Mathlab (http://www.matrixlab-examples.com/polynomial-regression.html). Вы получите некую функцию P(x1[i],x2[i],x3[i]). 1. Затем для каждого i вычислить выражение Diff[i] = P(x1[i],x2[i],x3[i]) - z[i]. Вы получите некоторый массив Diff. 2. Выберите все отрицательные значения. 3. Найдите минимальное значение в Diff: M = Min(Diff). 4. Искомая функция есть F(x1[i],x2[i],x3[i]) = P(x1[i],x2[i],x3[i]) + Abs(M), где Abs( М) - это значение без учета знака М.
Но если вы не ограничены только квадратичными функциями, вы можете варьировать степень многочлена и в конечном итоге получить более точное решение.
