Интеркаузальные рассуждения: байесовская сеть

Установка Иланмана верна, но в его числах есть небольшая путаница, которая приводит к неправильным расчетам.

P(T = 1) должно фактически равняться 0.1449, а P(A = 1, T = 1) должно равняться 0.0504, и при делении вместе

0.0504/0.1449 = 0.3478

Ошибка возникает, когда вероятности P(Traffic = 1| President = 1, Accident = 0) и P(Traffic = 1| President = 0, Accident = 1) перепутаны. Таким образом, окончательный расчет для P(T = 1) должен быть таким:

=(0.9*0.01*0.1) + (0.6*0.01*0.9) + (0.5*0.99*0.1) + (0.1*0.99*0.9) = 0.1449

и расчет для P(A = 1, T = 1)

= (0.01*0.1*0.9) + (0.1*0.99*0.5) = 0.0504

Предположим, у нас есть априори, что у студента Джорджа есть 30% шанс быть умным. Теперь, если мы посмотрим на его оценку в классе, мы увидим, что она низкая. Следовательно, вероятность того, что Джордж будет умным, при низкой оценке уменьшается.

P(i1|g3)=0.079

Сейчас мы пошли и проверили программу класса и поняли, что класс был трудным. Следовательно, вероятность того, что Джордж будет умным, учитывая низкую оценку и трудный класс, увеличивается:

P(i1|g3,d1)=0.11

Теперь предположим, что класс Жоржа — B (g2). Следовательно, вероятность того, что Джордж будет умным, с учетом степени g2 увеличивается.

P(i1|g2)=0.175

Теперь, если мы учтем, что класс тоже был крутым, вероятность того, что Джордж был умным, учитывая оценку g2 и класс был крутым, увеличивается.

P(i1|g2,d1)=0.34

Таким образом, мы в некотором смысле объяснили плохую оценку Джорджа сложностью урока. Объяснение — это пример общего шаблона рассуждений, называемого интеркаузальным рассуждением, когда причины одного и того же следствия могут взаимодействовать. Это интуитивное представление об альтернативном объяснении фактов можно сделать очень точным.

Источник: курс Дафны Коллер на Coursera.

Рекомендую выписать полный совместный дистрибутив:

P(A,T,P) = P(P) * P(A) * P(T|P,A)

И используйте это, чтобы вычислить любое количество, которое вам нужно. Мы хотим, чтобы P(A = 1 | T = 1). Используя условную вероятность:

P(A = 1 | T = 1) = P(A = 1, T = 1) / P(T = 1)

P(T = 1)
  = SUM_{over A, over P}
  = P(A, P, T = 1)
  = SUM_{over A, over P} P(P)*P(A)*P(T=1|P,A)
  =   P(T=1 | A=1, P=1)*P(A=1)*P(P=1)
    + P(T=1 | A=1, P=0)*P(A=1)*P(P=0)
    + P(T=1 | A=0, P=1)*P(A=0)*P(P=1)
    + P(T=1 | A=0, P=0)*P(A=0)*P(P=0)
  = 0.9*0.01*0.1 + 0.6*0.1*0.99 + 0.5*0.9*0.01 + 0.1*0.99*0.9
  = 0.1539

P(A = 1, T = 1)
  = SUM_{over P} P(A=1, T=1, P)
  = P(A=1, T=1, P=1)             + P(A=1, T=1, P=0)
  = P(A=1)*P(P=1)*P(T=1|A=1,P=1) + P(A=1)*P(P=0)*P(T=1|A=1,P=0)
  = 0.01*0.1*0.9                 + 0.1*0.99*0.6
  = 0.0603

Поэтому:

P(A = 1 | T = 1) = P(A = 1, T = 1) / P(T = 1)
                 = 0.0603 / 0.1539
                 = 0.3918

Для расчета P(Авария = 1 | Трафик = 1) вы должны следовать этой процедуре.

P(A = 1 | T = 1) = P(A = 1, T = 1) / P(T = 1)

Итак, сначала нам нужно вычислить P(A = 1, T = 1), то есть:

P (A = 1, T = 1) = P(T=1 , A=1 , P=0) + P(T=1, A=1, P=1 )

Тогда у нас есть:

P(T=1, A=1 , p=0) = P(T=1 | A=1, p=0) p(A=1) p(p=0) = 0.5 * 0.1 * 0.99 = 0.0495

Следуя тому же методу, вы можете рассчитать P (T = 1, A = 1, p = 1), что приведет к 0,0009.

So:

P (A = 1, T = 1) = P(T=1 , A=1 , P=0) + P(T=1, A=1, P=1 ) = 0.0495 + 0.0009 = 0.0504

=>

P(A = 1 | T = 1)  = 0.0504 / P(T = 1)

Для вычисления P(T=1) вы должны следовать тому же принципу. Так

P(T=1) = P(T=1,p=0, A=0) + P(T=1, p=0, A=1) + P(T=1, p=1, A=0) + P(T=1, p=1, A=1)

Затем

P(T=1, p=0, A=0 ) = P(T=1 | p=0, A=0 ) * P(p=0) * P(A=0)

и так далее...