отображение стрелок над монадами

Я понимаю, что стрелка — это профунктор, в котором можно преобразовывать входные и выходные данные, но можно ли сопоставить стрелку поверх функтора?

Я понимаю, что в ответ на вопрос "нет", поскольку сигнатура типа функции fmap имеет значение (a -> b) -> f a -> f b и не допускает Arrow a b, но я надеюсь, что то, о чем я спрашиваю, понятно.

Я ищу способ, например, преобразовать ввод Maybe с помощью стрелки, где Nothing переходит к Nothing, а Just x переходит к Just y, где y является результатом применения стрелки к x.


haskell arrows category-abstractions
person Matthew Piziak    schedule 15.04.2017    source источник

Ответы (2)


arrow_upward
7
arrow_downward

Arrow объединяет два понятия. Один из них, как вы говорите, принадлежит профунктору, но прежде всего это просто определенный класс категорий (о чем и свидетельствует суперкласс).

Это очень важно для этого вопроса: да, сигнатура fmap — это (a -> b) -> f a -> f b, но на самом деле это далеко не все, что может делать функтор! В математике функтор — это сопоставление двух категорий C и D, которое сопоставляет каждой стрелке в C стрелку в D. . Стрелки в разных категориях, то есть! Стандартный класс Functor просто охватывает простейший частный случай — эндофункторов в категории Hask.

Полная общая версия класса функтора на самом деле выглядит примерно так (здесь моя версия из ограниченных категорий):

class (Category r, Category t) => Functor f r t | f r -> t, f t -> r where
  fmap :: r a b -> t (f a) (f b)

Или, в псевдосинтаксисе,

class (Category (──>), Category (~>)) => Functor f (──>) (~>) where
  fmap :: (a ──> b) -> f a ~> f b

Это также может работать, когда одна из категорий является правильной стрелкой, а не обычной функциональной категорией. Например, вы можете определить

instance Functor Maybe (Kleisli [] (->)) (Kleisli [] (->)) where
  fmap (Kleisli f) = Kleisli mf
   where mf Nothing = [Nothing]
         mf (Just a) = Just <$> f a

использоваться как

> runKleisli (fmap . Kleisli $ \i -> [0..i]) $ Nothing
[Nothing]
> runKleisli (fmap . Kleisli $ \i -> [0..i]) $ Just 4
[Just 0,Just 1,Just 2,Just 3,Just 4]

Не уверен, будет ли это полезно для чего-то нетривиального, если использовать стандартные профункторные стрелки. Это определенно полезно в других категориях, которые не Hask-профункторы, например

instance (TensorSpace v) => Functor (Tensor s v) (LinearFunction s) (LinearFunction s)

выражая, что вы можете отобразить линейную функцию по одному фактору тензорного произведения (тогда как обычно невозможно отобразить нелинейную функцию по такому продукту - результат будет зависеть от выбора базиса в векторном пространстве).

person leftaroundabout    schedule 15.04.2017

arrow_upward
4
arrow_downward

Я ищу способ, например, преобразовать ввод Maybe со стрелкой, где Nothing переходит к Nothing, а Just x переходит к Just y, где y является результатом применения стрелки к x.

Это может быть реализовано для конкретных Functor (например, Maybe), хотя ArrowChoice, скорее всего, будет необходимо:

maybeAmap :: ArrowChoice p => p a b -> p (Maybe a) (Maybe b)
maybeAmap p =
    maybe (Left ()) Right
    ^>> returnA +++ p
    >>^ const Nothing ||| Just

См. Стрелочный эквивалент mapM? для аналогичной функции, написанной в proc-нотации.

Говоря о mapM, профункторы имеют интересный класс под названием Traversing:

-- Abbreviated class definition:
class (Choice p, Strong p) => Traversing p where
  traverse' :: Traversable f => p a b -> p (f a) (f b)
  wander :: (forall f. Applicative f => (a -> f b) -> s -> f t) -> p a b -> p s t

Флагманский экземпляр Traversing — это экземпляр для Starпрофунктор, который обеспечивает альтернативное кодирование знакомой функции traverse. Обратите внимание, что хотя leftaroundabout answer демонстрирует функтор не-Hask для категорий, которые не обязательно < strong>Hask-профункторы, с Traversing у нас есть конструкция для Profunctor, которые не обязательно имеют экземпляр Category.

person duplode    schedule 16.04.2017