Я написал программу, которая принимает некоторые точки, выраженные в трехмерных координатах, которые должны быть нарисованы на двухмерном холсте. Для этого я использую перспективную проекцию, однородные координаты и подобные треугольники. Однако моя программа не работает, и я даже не знаю почему.

Я следил за двумя уроками. Я действительно понял геометрические определения и свойства, которые я прочитал. Однако моя реализация терпит неудачу ... Я буду писать ссылки на оба этих курса понемногу, чтобы вам было удобнее читать :).

Обзор: геометрические напоминания

Перспективная проекция выполняется в соответствии с этим рабочим процессом (см. Эти 2 курса - я написал соответствующие ссылки о последних (привязки HTML) ниже, в этом посте):

1. Определение точек для рисования, выраженных в мировой системе координат; Определение матрицы проекции, которая представляет собой матрицу преобразования, которая «преобразует» точку, выраженную в соответствии с мировой системой координат, в точку, выраженную в соответствии с системой координат камеры (примечание: я считаю, что эту матрицу можно понимать как трехмерную объект "камера")

2. Произведение этих точек с этой матрицей (как определено в соответствующей части ниже в этом документе): произведение этих выраженных в мире точек приводит к преобразованию этих точек в систему координат камеры. Обратите внимание, что точки и матрица выражаются в 4D (концепция однородных координат).

3. Использование аналогичной концепции треугольников для проецирования (на этом этапе выполняются только вычисления) на холсте точек, отображаемых в камере (с использованием их 4-мерных координат). После этой операции точки теперь выражаются в 3D (третья координата вычисляется, но фактически не используется на холсте). 4-я координата удалена, потому что она бесполезна. Обратите внимание, что третья координата не будет полезна, кроме как для обработки z-боя (хотя я не хочу этого делать).

4. Последний шаг: растеризация, чтобы фактически нарисовать пиксели на холсте (на этом шаге выполняются другие вычисления и отображение).

Во-первых, проблема

Ну, я хочу нарисовать куб, но перспектива не работает. Спроецированные точки кажутся нарисованными без перспективы.

На какой результат мне стоит рассчитывать

Результат, которого я ожидаю, - это куб, отображаемый в части «Изображение» ниже PNG:

То, что я вывожу

Грани моего куба странные, как будто перспектива использовалась неправильно.

Думаю, я знаю, почему у меня такая проблема ...

Я думаю, что моя матрица проекции (например, камера) не имеет хороших коэффициентов. Я использую очень простую матрицу проекции без концепции fov, близкой к и дальние плоскости отсечения (как вы можете видеть ниже).

Действительно, чтобы получить ожидаемый результат (как определено ранее), камеру следует разместить, если я не ошибаюсь, в центре (по осям x и y). куба, выраженного в соответствии с мировой системой координат и в центре (по осям x и y) холста, который (я делаю это предположение) поместил 1 z перед камерой.

Скэсти (отрывок)

NB: поскольку X11 не активирован на Scastie, окно, которое я хочу создать, не будет отображаться.

https://scastie.scala-lang.org/N95TE2nHTgSlqCxRHwYnxA

Записи

Возможно проблема связана с записями? Что ж, даю вам их.

Очки куба

Ref. : сам

val world_cube_points : Seq[Seq[Double]] = Seq(
  Seq(100, 300, -4, 1), // top left
  Seq(100, 300, -1, 1), // top left z+1
  Seq(100, 0, -4, 1), // bottom left
  Seq(100, 0, -1, 1), // bottom left z+1
  Seq(400, 300, -4, 1), // top right
  Seq(400, 300, -1, 1), // top right z+1
  Seq(400, 0, -4, 1), // bottom right
  Seq(400, 0, -1, 1) // bottom right z+1
)

Матрица трансформации (проекции)

Ref. : https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/perspective-and-orthographic-projection-matrix/building-basic-perspective-projection-matrix, конец части. «Простая матрица перспективы»

Обратите внимание, что я использую простейшую матрицу перспективной проекции: я не использую концепцию fov, ближней и дальней плоскостей отсечения.

new Matrix(Seq(
  Seq(1, 0, 0, 0),
  Seq(0, 1, 0, 0),
  Seq(0, 0, -1, 0),
  Seq(0, 0, -1, 0)
))

Следствие этой матрицы: каждая точка P(x;y;z;w), созданная с помощью этой матрицы, будет: P'(x;y;-z;-z).

Во-вторых, первая операция, которую выполняет моя программа: простое произведение точки на матрицу.

Ref. : https://github.com/ssloy/tinyrenderer/wiki/Lesson-4:-Perspective-projection#homogen-coordinates

/**
  * Matrix in the shape of (use of homogeneous coordinates) :
  * c00 c01 c02 c03
  * c10 c11 c12 c13
  * c20 c21 c22 c23
  *   0   0   0   1
  *
  * @param content the content of the matrix
  */
class Matrix(val content : Seq[Seq[Double]]) {

  /**
    * Computes the product between a point P(x ; y ; z) and the matrix.
    *
    * @param point a point P(x ; y ; z ; 1)
    * @return a new point P'(
    *         x * c00 + y * c10 + z * c20
    *         ;
    *         x * c01 + y * c11 + z * c21
    *         ;
    *         x * c02 + y * c12 + z * c22
    *         ;
    *         1
    *         )
    */
  def product(point : Seq[Double]) : Seq[Double] = {
    (0 to 3).map(
      i => content(i).zip(point).map(couple2 => couple2._1 * couple2._2).sum
    )
  }

}

Затем используйте похожие треугольники

Ref. 1/2: Деталь. «О важности преобразования точек в пространство камеры» из https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/computing-pixel-coordinates-of-3d-point/matMathematics-computing-2d-координаты-3d-точек

Ref. 2/2: https://github.com/ssloy/tinyrenderer/wiki/Lesson-4:-Perspective-projection#time-to-work-in-full-3d

NB: на этом этапе записи представляют собой точки, выраженные в соответствии с камерой (т. Е .: они являются результатом предварительно определенного произведения с предварительно определенной матрицей).

class Projector {

  /**
    * Computes the coordinates of the projection of the point P on the canvas.
    * The canvas is assumed to be 1 unit forward the camera.
    * The computation uses the definition of the similar triangles.
    *
    * @param points the point P we want to project on the canvas. Its coordinates must be expressed in the coordinates
    *          system of the camera before using this function.
    * @return the point P', projection of P.
    */
  def drawPointsOnCanvas(points : Seq[Seq[Double]]) : Seq[Seq[Double]] = {
    points.map(point => {
      point.map(coordinate => {
        coordinate / point(3)
      }).dropRight(1)
    })

  }

}

Наконец, нанесение проецируемых точек на холст.

Ref. : Часть. «От экранного пространства к растровому» из https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/computing-pixel-coordinates-of-3d-point/matMathematics-computing-2d-координаты3D-точек

import java.awt.Graphics
import javax.swing.JFrame

/**
  * Assumed to be 1 unit forward the camera.
  * Contains the drawn points.
  */
class Canvas(val drawn_points : Seq[Seq[Double]]) extends JFrame {

  val CANVAS_WIDTH = 820
  val CANVAS_HEIGHT = 820
  val IMAGE_WIDTH = 900
  val IMAGE_HEIGHT = 900

  def display = {
    setTitle("Perlin")
    setSize(IMAGE_WIDTH, IMAGE_HEIGHT)
    setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE)
    setVisible(true)
  }

  override def paint(graphics : Graphics): Unit = {
    super.paint(graphics)
    drawn_points.foreach(point => {

      if(!(Math.abs(point.head) <= CANVAS_WIDTH / 2 || Math.abs(point(1)) <= CANVAS_HEIGHT / 2)) {
        println("WARNING : the point (" + point.head + " ; " + point(1) + ") can't be drawn in this canvas.")
      } else {
        val normalized_drawn_point = Seq((point.head + (CANVAS_WIDTH / 2)) / CANVAS_WIDTH, (point(1) + (CANVAS_HEIGHT / 2)) / CANVAS_HEIGHT)
        graphics.fillRect((normalized_drawn_point.head * IMAGE_WIDTH).toInt, ((1 - normalized_drawn_point(1)) * IMAGE_HEIGHT).toInt, 5, 5)

        graphics.drawString(
          "P(" + (normalized_drawn_point.head * IMAGE_WIDTH).toInt + " ; "
          + ((1 - normalized_drawn_point(1)) * IMAGE_HEIGHT).toInt + ")",
          (normalized_drawn_point.head * IMAGE_WIDTH).toInt - 50, ((1 - normalized_drawn_point(1)) * IMAGE_HEIGHT).toInt - 10
        )
      }
    })
  }

}

Вопрос

Что не так с моей программой? Я понял геометрические концепции, объясняемые в обоих руководствах, которые я внимательно прочитал. Я почти уверен, что мой продукт работает. Я думаю, что либо растеризация, либо записи (матрица) могут быть неправильными ...