Неопределенность типа данных с плавающей запятой

Распространение неопределенности относится к области статистики и относится к тому, как неопределенности во входных данных влияют на их математические функции. Анализ ошибок, возникающих в вычислительной арифметике, называется числовым анализом.

FLT_EPSILON не является мерой неопределенности или ошибки в результатах с плавающей запятой. Это расстояние между 1 и следующим значением, представленным в типе float. Следовательно, это размер шагов между представимыми числами при величине 1.

При преобразовании десятичного числа в число с плавающей запятой возникающая в результате ошибка округления может иметь величину до ½ размера шага при использовании обычного режима округления до ближайшего. Причина, по которой граница составляет ½ размера шага, заключается в том, что для любого числа x (в пределах конечной области формата с плавающей запятой) существует представляемое значение в пределах ½ размера шага (включительно). Это связано с тем, что, если существует представимое число, превышающее ½ размера шага в одном направлении, существует представимое число, меньшее, чем ½ размера шага в другом направлении.

Размер шага зависит от величины чисел. Для двоичных чисел с плавающей запятой оно удваивается в 2, затем в 4, затем в 8 и так далее. Ниже 1 оно уменьшается вдвое, а при ½, ¼ и так далее.

Когда вы выполняете арифметические операции с плавающей запятой, округление, происходящее при вычислении, может усугублять или отменять предыдущие ошибки. Общей формулы для окончательной ошибки не существует.

Две цифры, использованные в вашем примере кода, 1.192092897e-7f и 1.192092896e-7f, настолько близки друг к другу, что преобразуются в одно и то же значение float, 2⁻²³. Именно поэтому нет никакой разницы в ваших f2 и f3.

Между f1 и f2 есть разница, но вы не напечатали достаточно цифр, чтобы отобразить ее.

Вы спрашиваете: «Разве значение float для x + FLT_EPSILON и x - FLT_EPSILON не должно быть одинаковым?», но ваш код не содержит x - FLT_EPSILON.

Re: «Мой вопрос заключается в том, что R значение с плавающей запятой x, каково значение y, которое x + y || x - y равно тому же значению R с плавающей запятой?» Это тривиально удовлетворяется y = 0. Вы хотели спросить, какое наибольшее значение y удовлетворяет условию? Это немного сложно.

Размер шага для числа x называется ULP числа x, который мы можем рассматривать как функцию ULP(x). ULP означает единицу наименьшей точности. Это разрядное значение наименьшей цифры в представлении x с плавающей запятой. Это не константа; это функция x.

Для большинства значений, представляемых в формате с плавающей запятой, наибольшее y, удовлетворяющее вашему условию, равно ½ ULP(x) наименьшей цифры в представлении x с плавающей запятой. четно, а если цифра нечетная, то чуть меньше ½ ULP(x). Это усложнение возникает из-за того, что результаты арифметики округляются до ближайшего представимого значения, и в случае равенства выбирается значение с четным младшим разрядом. Таким образом, добавление ½ ULP(x) к x даст ничью, которая будет округлена до x, если младшая цифра четная, но не будет округлить до x, если младшая цифра нечетная.

Однако для x, находящихся на границе изменения ULP, наибольшее y, удовлетворяющее вашему условию, равно ¼ ULP(x). Это связано с тем, что чуть ниже x (по величине) изменяется размер шага, а следующее число меньше x равно половине x'. размер шага s вместо обычного полного размера шага. Таким образом, вы можете пройти только половину пути к этому значению, прежде чем изменить результат вычитания, поэтому максимальное значение y равно ¼ ULP(x).

Float — это 32 битное число с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754: 1 бит для знака, 8 бит для показателя степени и 23* для значения, т. е. число с плавающей запятой имеет точность 7 десятичных цифр.

Увеличьте количество напечатанных цифр на printf, чтобы увидеть больше, но после 7 цифр это просто шум:

#include <stdio.h>

int main(void) {

 float f1 = 1.234567f;
 float f2 = 1.234567f + 1.192092897e-7f;
 float f3 = 1.234567f + 1.192092896e-7f;

 printf("Inicial:\t%.16f\n", f1);
 printf("Inicial:\t%.16f\n", f2);
 printf("Inicial:\t%.16f\n\n", f3);

 return 0;
}

Выход:

Inicial:        1.2345670461654663                                                                                                           
Inicial:        1.2345671653747559                                                                                                           
Inicial:        1.2345671653747559 

float f1 = 1.234567f;
float f2 = f1 + 1.192092897e-7f;
float f3 = f1 + 1.192092896e-7f;

printf("Inicial:\t%.20f\n", f1);
printf("Inicial:\t%.20f\n", f2);
printf("Inicial:\t%.20f\n\n", f3);

Вывод:

Inicial:        1.23456704616546630000
Inicial:        1.23456716537475590000
Inicial:        1.23456716537475590000

Нет, ваше ожидание неверно
В первом вызове printf вы печатаете переменную f1 без какого-либо эффекта, которая представляет собой просто 1.234567f.