Приложения плотной линейной алгебры

Это зависит от того, что вы подразумеваете под реальным миром. Реальный мир для меня — это физика, поэтому я расскажу вам сначала о физике, а затем разветвлюсь. В физике нам часто приходится находить собственные значения и собственные векторы матрицы, называемой гамильтонианом (он в основном содержит информацию об энергии системы). Эти матрицы могут быть плотными, по крайней мере, в блоках. Эти блоки могут быть довольно большими. Это поднимает еще один вопрос: разреженные матрицы могут быть плотными в блоках, и тогда лучше всего использовать плотный решатель линейной алгебры для каждого из блоков.

Существует также нечто, называемое матрицей плотности системы. Его можно найти, используя собственные векторы гамильтониана. В одном алгоритме, который я использую, мы часто находим собственные векторы/значения этих матриц плотности, а матрицы плотности плотны, по крайней мере, в блоках.

Плотная линейная алгебра также используется в материаловедении и гидродинамике, как указано в этом документе. статья. Это также относится к квантовой химии, которая является еще одной областью, в которой они используются.

Процедуры плотной линейной алгебры также использовались для решения квантового рассеяния заряженных частиц(об этом не говорится в связанной статье, но это использовалось) и для анализа Космической микроволны Фон. В более широком смысле он используется при решении множество электромагнитных проблем, связанных с реальными вещами, такими как конструкция антенны, конструкция медицинского оборудования и определение/уменьшение радиолокационной заметности самолета.

Другим очень реальным применением является подгонка кривых. Однако есть и другие способы сделать это, кроме использования линейной алгебры, которые имеют более широкую область применения.

Таким образом, плотная линейная алгебра используется во множестве приложений, большинство из которых связаны с наукой или техникой.

В качестве примечания: многие люди ранее и в настоящее время прилагают большие усилия к плотным библиотекам линейной алгебры, включая те, которые используют графические карты для выполнения вычислений.

Многие методы линейной регрессии требуют тяжелой работы с большими и плотными матрицами данных. Самый простой пример, который я могу придумать, это линейный метод наименьших квадратов с использованием псевдоинверсии Мура-Пенроуза.

Разреженные решатели могут быть более полезными в долгосрочной перспективе, но плотная линейная алгебра имеет решающее значение для разработки разреженных решателей, и ею нельзя пренебрегать:

• Плотные системы часто являются более простой областью для разработки алгоритмов, потому что одной проблемой меньше.
• Размер, при котором разреженные решатели становятся быстрее лучших плотных решателей (даже для очень разреженных матриц), намного больше, чем думает большинство людей.
• Самые быстрые разреженные решатели обычно строятся на самых быстрых операциях плотной линейной алгебры.

В каком-то смысле это частный случай примера Эндрю Коуна, но фильтры Калмана например, здесь обычно имеют плотное состояние матрица ковариации ошибок, хотя матрица модели наблюдения и матрицы перехода могут быть разреженными.