Кажется, у вас есть SDE, где первые два члена управляются вторыми двумя, которые являются стохастическими? В этом случае вы бы составили lotka детерминированные термины:

function lotka(du,u,p,t);
    ????, ????, ????, ????, ????, ???? = p; 
    du[1] = ????*u[1]-????*u[1]*u[2]+u[3];
    du[2] = ????*u[1]*u[2]-????*u[2]+u[4];
    du[3] = -u[3]/????
    du[4] = -u[4]/????
end

а затем stoch стохастическая часть:

function stoch(du,u,p,t)
  ????, ????, ????, ????, ????, ???? = p; 
  du[1] = 0 
  du[2] = 0
  du[3] = sqrt((2.0*????^2.0/????))
  du[4] = sqrt((2.0*????^2.0/????))
end

Теперь это записывается в форме du = f(u,p,t)dt + g(u,p,t)dW. Заметьте, что точно так же, как вы не пишете dt, вы не пишете randn(), поскольку это обрабатывается (более сложно) в решателе. Используя их, вы определяете проблему SDEP и решаете:

u0 = [15.0,1.0,0.0,0.0];
p = (0.3,0.05,0.7,0.1,0.1,0.1);
tspan = (0.0,50.0);
prob = SDEProblem(lotka,stoch,u0,tspan,p);
sol = solve(prob);

(Вы должны быть осторожны с этой моделью, хотя, поскольку она не гарантированно будет оставаться положительной, поэтому она может работать нестабильно, если будет слишком много шума. Не только интегратор, но и само решение)

Краткое объяснение того, почему использование решающей программы ODE не работает

Просто для ясности, причина того, что то, что вы делали выше, не работает, состоит в двух причинах. Во-первых, адаптивность делает предположения, основанные на свойствах решения. Например, стандартный интегратор 5-го порядка предполагает, что решение дифференцируемо в 5 раз, и использует это в своих оценках ошибок для выбора размеров шага. SDE дифференцируем в 0 раз: он дифференцируется только по эпсилону для каждого эпсилона ‹1/2. Итак, оценки ошибок и выбор временного шага будут сильно отключены при прямом использовании метода ODE для SDE.

Но, во-вторых, решатели ODE адаптируются с использованием отбраковочной выборки. Они выберут dt, попробуют, а если это не поможет, уменьшат dt. Здесь вы берете случайное число в своей производной, и интегратор 5-го порядка будет вызывать вашу производную функцию 7 раз, получая 7 разных значений для того, что, по его мнению, является производной, вычисляет оценку ошибки, понимает, что это дико не работает (поскольку это даже не дифференцируемым, поэтому весь алгоритм сделал неверные предположения), уменьшите временной шаг, а затем возьмите совершенно разные случайные числа, чтобы меньшее dt оказалось совершенно другой траекторией. Как вы понимаете, все это дико нестабильно и на самом деле не решает настоящую SDE, которая у нас была изначально.

Вы можете обойти это, будучи намного умнее с тем, как вы берете упомянутые случайные числа, как вы определяете оценки ошибок, и используя методы высокого порядка, которые предполагают «дифференцируемость Ито» (то есть «дифференцируемость» в терминах компонентов SDE). Это описано в документе, который является основой нынешнего поколения адаптивных решателей SDE .

using DifferentialEquations,Plots;

function lotka(du,u,p,t);
    ????, ????, ????, ????, ????, ???? = p; 
    du[1] = ????*u[1]-????*u[1]*u[2];
    du[2] = ????*u[1]*u[2]-????*u[2];
end
function stoch(du,u,p,t)
  ????, ????, ????, ????, ????, ???? = p; 
  du[1] = 1 
  du[2] = 1
end
u0 = [15.0,1.0];
p = (0.3,0.05,0.7,0.1,0.9,0.1);
????, ????, ????, ????, ????, ???? = p; 
OU = OrnsteinUhlenbeckProcess(1/????, 0.0, ????, 0.0, 0.0);
tspan = (0.0,100.0);
prob = SDEProblem(lotka,stoch,u0,tspan,p,noise = OU);
sol = solve(prob,EM(),dt = 1e-3, adaptive=false);

OU = OrnsteinUhlenbeckProcess(1/????, 0.0, ????, 0.0, [0.0,0.0]);

OU = OrnsteinUhlenbeckProcess!(1/????, 0.0, ????, 0.0, [0.0,0.0]);