Сложность определения типа Relation как экземпляра класса Category.

Я пытаюсь определить отношение a b как экземпляр категории. Мне кажется, что оператор композитора хорошо определен и соблюдает закон ассоциативности. Когда дело доходит до идентификатора, я не могу найти правильное определение. Что я делаю не так?

import Data.Map as M
import Data.Set as S
import Control.Category as Cat

newtype Relation a b = R (Map a (Set b)) deriving (Show, Eq)

-- instance Cat.Category Relation where
    -- id = 
    -- (.) = (°)

-- GHC.Base.id r1
-- > R (fromList [(10,fromList "abef"),(30,fromList "GRTXa")])

r1 = R $ M.fromList [(10,S.fromList "abfe"),(30,S.fromList "aXGRT")]
r2 = R $ M.fromList [('a',S.fromList [Just "Apple",Just "Ask"]),('b',S.fromList [Just "book",Just "brother"]),('T',S.fromList [Just "Table"]),('?',S.fromList [Just "Apple",Just "brother"])]

-- ex. r1 ° r2 = R (fromList [(10,fromList [Just "Apple",Just "Ask",Just "book",Just "brother"]),(30,fromList [Just "Apple",Just "Ask",Just "Table"])])


(°) :: (Ord a, Ord k, Ord b) => Relation a k -> Relation k b -> Relation a b   
R mp1 ° R mp2
  | M.null mp1 || M.null mp2 = R M.empty 
  | otherwise = R $ M.foldrWithKey (\k s acc -> M.insert k (S.foldr (\x acc2 -> case M.lookup x mp2 of
                                                                                  Nothing -> acc2
                                                                                  Just s2 -> S.union s2 acc2
                                                                    ) S.empty s) acc
                                   ) M.empty mp1

haskell category-abstractions
person Alberto Capitani    schedule 20.05.2019    source источник
comment
Мне нужно быть { (a,a) | a in A }. Поскольку ваша модель отношения является конечной картой, вы можете сделать это только в том случае, если A конечно.   -  person luqui    schedule 20.05.2019
comment
Несвязанный вопрос: зачем импортировать GHC.Base?   -  person Li-yao Xia    schedule 20.05.2019
comment
@Li-yaoXia В других определениях экземпляров категории я видел такое определение идентификатора. Кроме того, очевидно, что он работает сам по себе; то есть GHC.Base.id R mp == R mp, что, на мой взгляд, показывает, что отношение идентичности существует на R.   -  person Alberto Capitani    schedule 20.05.2019
comment
@luqui Итак, вы думаете, что я должен определить R как простой набор (a, b)? Итак, как следует определять «id» в этом случае? (Композиция отношения как множества пар кажется мне простой.)   -  person Alberto Capitani    schedule 20.05.2019
comment
@AlbertoCapitani Нет, Set (a,b) все еще должен быть конечным. На самом деле я бы выбрал что-то вроде a -> Set b (локально конечное) или, может быть, даже a -> b -> Bool   -  person luqui    schedule 20.05.2019
comment
@luqio Может быть, как характеристическая функция над отношением, которое составляется с другим, если первое дает true, а второй аргумент находится в домене второй функции?   -  person Alberto Capitani    schedule 20.05.2019
comment
Я не понимаю объяснения по поводу GHC.Base. Насколько я могу судить, это внутренняя библиотека, которая не предназначена для использования. Это определенно не имеет ничего общего с пользовательскими экземплярами Category.   -  person Li-yao Xia    schedule 20.05.2019
comment
@Li-yaoXia Это было лишь предварительное решение. Теперь, после ваших объяснений, кажется мало смысла.   -  person Alberto Capitani    schedule 20.05.2019

Ответы (1)


arrow_upward
7
arrow_downward

Relation не может быть экземпляром Category:

  1. как указывает Луки в комментариях, Relation представляет только конечные отношения (если рассматривать их как наборы пар), но отношение тождества на бесконечном множестве бесконечно;

  2. композиция определена не для всех типов, а только для экземпляров Ord.

Вот один из способов решить эти проблемы и сделать Relation экземпляром Category:

  1. добавить тривиальный элемент для представления отношения тождества (это та же идея, что и при создании моноида из полугруппы с Option);
  2. сделать так, чтобы другие "нетривиальные" отношения содержали экземпляры Ord.

Это можно сделать с помощью GADT.

{-# LANGUAGE GADTs #-}

data Relation a b where
  Id :: Relation a a
  R :: (Ord a, Ord b) => Map a (Set b) -> Relation a b

instance Category Relation where
  id = Id
  Id . r = r
  r . Id = r
  R r1 . R r2 = ...
person Li-yao Xia    schedule 20.05.2019