Помещение слова в стек и проверка его на наличие палиндрома

Эта петля

while(getchar()!='\0') //Getting all the characters from the stdin buffer and pushing it into "Original" stack.
{
    push(original, getchar());
}

в любом случае неправильно, потому что считывает символы дважды: в условии цикла и в теле цикла.

И вы должны явно ввести 0, например, с клавиатуры.

Вам нужно следующее

int c;
int i = 0;

while ( i < original.capacity && ( c = getchar() ) != EOF && c != '\n' )
{
    push(original, c );
    ++i;
} 

Также есть еще одна проблема. Эти функции имеют дело с копией переданных аргументов.

void push(struct Stack stack, char a) //Push function.
{
    stack.array[++stack.top] = a; //Helps to push charater to a stack.
}

char pop(struct Stack stack) //Pop function.
{
    return stack.array[stack.top--]; //Helps to pop character from a stack.
}

Вы должны объявить их как

void push(struct Stack *stack, char a) //Push function.
{
    stack-?array[++stack->top] = a; //Helps to push charater to a stack.
}

char pop(struct Stack *stack) //Pop function.
{
    return stack->array[stack->top--]; //Helps to pop character from a stack.
}

То есть передать исходный стек по ссылке через указатель.

И вызовите эти функции, например,

push( &original, c );

В противном случае вершина члена данных не будет изменена.

Вот ваша обновленная программа

# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>

struct Stack
{
    int top;
    int capacity;
    char *array;
};

void push(struct Stack *stack, char a) //Push function.
{
    stack->array[++stack->top] = a; //Helps to push charater to a stack.
}

char pop(struct Stack *stack) //Pop function.
{
    return stack->array[stack->top--]; //Helps to pop character from a stack.
}

int main(void)
{
    struct Stack original; //Original stack where the "Original" word will be pushed.
    original.top = -1;
    original.capacity = 10;
    original.array = calloc(original.capacity, sizeof(char));

    struct Stack checker; //Another stack that "Checks" whether the word is palindrome or not.
    checker.top = -1;
    checker.capacity = 10;
    checker.array = calloc(checker.capacity, sizeof(char));

    int c;
    int i = 0;

    while ( i < original.capacity && ( c = getchar() ) != EOF && c != '\n' )
    {
        push( &original, c );
        ++i;
    }

    while(original.top != -1)
    {
        push(&checker,pop(&original)); //Popping from "Original" stack and pushing it to "Checker" stack.
    }

    while(checker.top != -1)
    {
        original.top = checker.top;
        if(original.array[original.top] != checker.array[checker.top]) //Checking every character in the stack if it is excatly same or not.
        {
            printf("It is not a palindrome.\n");
            return EXIT_SUCCESS;
        }
        else
        {
            checker.top = checker.top - 1;
        }
    }

    if(checker.top == -1)
    {
        printf("It is a palindrome.\n");
    }

    return 0;
}

Учтите, что эти заголовки

#include <string.h>
#include <stdbool.h>

являются избыточными.