Установите связь между сценарием контента и фоновой страницей.

Несколько основных вопросов:

1. Вы зависите от какого-то элемента на странице с идентификатором header. Такие идентификаторы находятся на усмотрении дизайнера сайта, поэтому на самом деле они есть у очень немногих страниц (включая Google). Может быть, выберите что-то более универсальное, например заголовок страницы (document.title).
2. Что означает "кнопка расширения"? Если это означает действие браузера, это часть вашего расширения, поэтому вы правы, что хотите отправить что-то из фонового скрипта. Это также более простой случай, так как вполне вероятно, что (помимо вышеописанной проблемы отсутствия страниц Google с элементом ID header) вы просто не захватываете событие клика в браузере. Однако, если это какая-то вставленная кнопка, все наоборот.

Что вы хотите (версия действия в браузере)

background.html (встроенный):

chrome.browserAction.onClicked.addListener(function(tab) {
  chrome.tabs.getSelected(null, function(tab) {
    chrome.tabs.sendRequest(tab.id, { method: "getHTML"}, function(response) {
      console.log(response.data);
    });
  });
});

content_script.js

chrome.extension.onRequest.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
  if (request.method === "getHTML") {
    sendResponse({data: document.title});
  } else {
    sendResponse({});
  }
});

Что вам может понадобиться (версия с внедренным нажатием кнопки)

фон.html:

chrome.extension.onRequest.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
  if (request.method === "getHTML") {
    console.log(request.data);
  }
});

content_script.js:

function buttonClick() {
  chrome.extension.sendRequest({method: "getHTML", data: document.title});
}

Код ответа на комментарий ниже

Очень важная рекомендация: справочник разработчика Chrome, вероятно, один из самых дружелюбных там. Если вы хотите узнать, какие части chrome.* API доступны, начните с этого.

function getHtml(tabId) {
  chrome.tabs.sendRequest(tabId, { method: "getHTML"}, function(response) {
    console.log(response.data);
  });
}

// Note that this will only work once a tab has loaded
chrome.tabs.onSelectionChanged.addListener(function(tabId) {
  getHtml(tabId);
});

// This fires the first time a page is loaded
chrome.tabs.onUpdated.addListener(function(tabId, changeInfo) {
  if (changeInfo.status === "complete") {
    getHtml(tabId);
  }
});

Код для второго ответа на комментарий ниже

фон.html

chrome.extension.onRequest.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
  if (request.method === "getHTML") {
    console.log(request.data);
  }
});

content_script.js

document.addEventListener("keypress", function(e) {
  chrome.extension.sendRequest({method: "getHTML", data: e.which});
});