Как найти 3D-координаты спроецированного прямоугольника?

Вам нужно вычислить обратную матрицу проекции. (ваша матрица не может быть единственной)

Я собираюсь дать довольно краткий ответ здесь, но я думаю, что вы поняли мой основной посыл. Я предполагаю, что у вас есть проекционная матрица 3x4 (P), поэтому вы сможете получить центр камеры, найдя правильный нулевой вектор P: назовите его C.

Когда у вас есть C, вы сможете вычислять лучи с тем же направлением, что и векторы CK, CL, CM и CN (т.е. перекрестное произведение C и K, L, M или N, например, CxK)

Теперь все, что вам нужно сделать, это вычислить 3 точки (u1,u2,u3), которые удовлетворяют следующим 6 ограничениям (произвольно предполагая, что KL и KN являются смежными и ||KL|| >= ||KN||, если d1 >= d2) :

1. u1 лежит на CK, т. е. u1.CK = 0
2. u2 лежит на CL
3. u3 лежит на CN
4. ||u1-u2|| = d1
5. ||u1-u3|| = d2
6. (u1xu2).(u1xu3) = 0 (ортогональность)

где A.B = скалярное произведение векторов A и B ||A|| = евклидова норма AxB = перекрестное произведение A и B

Я думаю, что эта проблема породит множество возможных решений, по крайней мере, в 2D. Для 2D случая:

           |   
-----------+-----------
          /|\
         / | \
        /  |  \
       /---+---\VP
      /    |    \
     /     |     \
    /      |      \
   /       |       \
  /        |   --   \
 /         |    |    \
/          |    |     \

На приведенной выше диаграмме вертикальный сегмент и горизонтальный сегмент будут проецироваться на одну и ту же линию на плоскости обзора (VP). Если вы нарисуете это в масштабе, вы увидите, что два луча от глаза проходят через каждую конечную точку непроецируемой линии. Эта линия может быть во многих положениях и поворотах — представьте, что вы бросаете палку в конус, она может застрять в любом количестве положений.

Таким образом, в 2D-пространстве существует бесконечное количество решений в пределах четко определенного множества.

Это относится к 3D?

Алгоритм будет примерно таким:

1. Инвертировать матрицу проекции
2. Вычислите четыре луча, которые проходят через вершины прямоугольника, эффективно создавая перекошенную пирамиду.
3. Попробуйте вписать свой прямоугольник в пирамиду. Это сложная часть, и я пытаюсь мысленно визуализировать прямоугольники в пирамидах, чтобы увидеть, могут ли они вписаться более чем одним способом.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Если бы вы знали расстояние до объекта, это стало бы тривиальным.

РЕДАКТИРОВАТЬ V2:

Хорошо, пусть Rn — четыре луча в мировом пространстве, т.е. преобразованные через обратную матрицу, выраженную через m.Rn, где |Rn| это один. Таким образом, четыре точки прямоугольника таковы:

P1 = aR1
P2 = bR2
P3 = cR3
P4 = dR4

где P1..P4 — точки по окружности прямоугольника. Отсюда, используя немного векторной математики, мы можем вывести четыре уравнения:

|aR1 - bR2| = d1
|cR3 - dR4| = d1
|aR1 - cR3| = d2
|bR2 - dR4| = d2

где d1 и d2 — длины сторон прямоугольника, а a, b, c и d — неизвестные.

Теперь может не быть решения вышеизложенного, и в этом случае вам нужно будет поменять местами d1 на d2. Вы можете расширить каждую строку до:

(a.R1x - b.R2x)² + (a.R1y - b.R2y)² + (a.R1z - b.R2z)^{2< /sup> = d12}

где R1? а Р2? являются компонентами x/y/z лучей 1 и 2. Обратите внимание, что вы решаете для a и b в приведенном выше примере, а не для x, y, z.

m_oLogin прав. Если я правильно понимаю вашу цель, изображение, которое снимает камера, это плоскость P, верно? Если это так, вы измеряете K, L, M, N по 2D-изображению. Вам нужна обратная матрица проекции, чтобы восстановить A, B, C и D.

Теперь я никогда не делал этого раньше, но мне кажется, что вы можете столкнуться с той же проблемой, что и GPS, только с 3 исправлениями спутников - есть два возможных решения, одно «позади» P и одно «перед» ним, правильно?

Матрица проекции включает в себя как перспективу, так и масштаб, поэтому инверсия даст вам решение, которое вам нужно. Я думаю, вы предполагаете, что он только инкапсулирует перспективу, и вам нужно что-то еще, чтобы выбрать правильный масштаб.