Я хочу иметь возможность выполнить приведенный ниже интеграл полностью численно.
где 
, 
и 
, 
и 
являются константами, которые для простоты можно установить до 1.
Интеграл по x можно выполнить аналитически вручную или с помощью Mathematica, а затем интеграл по y можно выполнить численно с помощью NIntegrate, но эти два метода дают разные ответы.
Аналитически:
In[160]:= ex := 2 (1 - Cos[x])
In[149]:= ey := 2 (1 - Cos[y])
In[161]:= kx := 1/(1 + Exp[ex])
In[151]:= ky := 1/(1 + Exp[ey])
In[162]:= Fn1 := 1/(2 \[Pi]) ((Cos[(x + y)/2])^2)/(ex - ey)
In[163]:= Integrate[Fn1, {x, -Pi, Pi}]
Out[163]= -(1/(4 \[Pi]))
If[Re[y] >= \[Pi] || \[Pi] + Re[y] <= 0 ||
y \[NotElement] Reals, \[Pi] Cos[y] - Log[-Cos[y/2]] Sin[y] +
Log[Cos[y/2]] Sin[y],
Integrate[Cos[(x + y)/2]^2/(Cos[x] - Cos[y]), {x, -\[Pi], \[Pi]},
Assumptions -> ! (Re[y] >= \[Pi] || \[Pi] + Re[y] <= 0 ||
y \[NotElement] Reals)]]
In[164]:= Fn2 := -1/(
4 \[Pi]) ((\[Pi] Cos[y] - Log[-Cos[y/2]] Sin[y] +
Log[Cos[y/2]] Sin[y]) (1 - ky) ky )/(2 \[Pi])
In[165]:= NIntegrate[Fn2, {y, -Pi, Pi}]
Out[165]= -0.0160323 - 2.23302*10^-15 I
Численный метод 1:
In[107]:= Fn4 :=
1/(4 \[Pi]^2) ((Cos[(x + y)/2])^2) (1 - ky) ky/(ex - ey)
In[109]:= NIntegrate[Fn4, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}]
During evaluation of In[109]:= NIntegrate::slwcon: Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small. >>
During evaluation of In[109]:= NIntegrate::ncvb: NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 18 recursive bisections in x near {x,y} = {0.0000202323,2.16219}. NIntegrate obtained 132827.66472461013` and 19442.543606302774` for the integral and error estimates. >>
Out[109]= 132828.
Число 2:
In[113]:= delta = .001;
pw[x_, y_] := Piecewise[{{1, Abs[Abs[x] - Abs[y]] > delta}}, 0]
In[116]:= Fn5 := (Fn4)*pw[Cos[x], Cos[y]]
In[131]:= NIntegrate[Fn5, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}]
During evaluation of In[131]:= NIntegrate::slwcon: Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small. >>
During evaluation of In[131]:= NIntegrate::eincr: The global error of the strategy GlobalAdaptive has increased more than 2000 times. The global error is expected to decrease monotonically after a number of integrand evaluations. Suspect one of the following: the working precision is insufficient for the specified precision goal; the integrand is highly oscillatory or it is not a (piecewise) smooth function; or the true value of the integral is 0. Increasing the value of the GlobalAdaptive option MaxErrorIncreases might lead to a convergent numerical integration. NIntegrate obtained 0.013006903336304906` and 0.0006852739534086272` for the integral and error estimates. >>
Out[131]= 0.0130069
Таким образом, ни один из численных методов не дает -0.0160323. Я понимаю, почему - первый метод имеет проблемы с бесконечностями, вызванными знаменателем, а второй метод эффективно удаляет часть интеграла, вызывающую проблемы. Но я хотел бы иметь возможность интегрировать другой интеграл (более сложный по сравнению с x, y и z), который нельзя упростить аналитически. Приведенный выше интеграл дает мне возможность протестировать любой новый метод, поскольку я знаю, каким должен быть ответ.
