РАСЧЕТ НЕПРЕРЫВНОСТИ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ
Непрерывные функции, три сильные теоремы
Каким должно быть большинство функций затрат на машинное обучение
В этом посте мы рассмотрим некоторые теоремы, необходимые для применения непрерывных функций.
Три сильные теоремы
В предыдущем посте наши теоремы включали в себя непрерывность в какой-то момент, в следующих они требуют непрерывности на всем интервале, если непрерывность не выполняется в одной точке, выводы этих теорем могут потерпеть неудачу.
Теорема 1.
Если f непрерывен на [a, b] и f (a) ‹0‹ f (b), то существует некоторый x в [a, b] такой, что f (x) = 0.
Проще говоря, это означает, что график непрерывной функции, который начинается ниже горизонтальной оси и заканчивается выше нее, должен пересекать эту ось в некоторой точке.
Теорема 2.
Если f непрерывен на [a, b], то f ограничен сверху на [a, b], то есть существует некоторое число N такое, что f (x) ≤N для всех x в [a, b].
Проще говоря, это означает, что на графике f линий ниже некоторой линии, параллельной горизонтальной оси.
Теорема 3.
Если f непрерывен на [a, b], то в [a, b] есть некоторое число y. такое, что f (y) ›f (x) для всех x в [a, b].
Проще говоря, это означает, что непрерывная функция на отрезке принимает максимальное значение на этом отрезке.
Обобщения этой теоремы
Четвертая и пятая теоремы являются обобщениями теоремы 1, в которой вы можете переместить 0-строку в любую точку c между концом и началом функции:
Теоремы 4 и 5
Если f непрерывен на [a, b] и f (a) ‹c‹ f (b), то существует некоторый x в [a, b] такой, что f (x) = c.
Если f непрерывен на [a, b] и f (a) ›c› f (b), то существует некоторый x в [a, b] такой, что f (x) = c.
Теоремы 4 и 5 вместе показывают, что f принимает любое значение от f (a) до f (b).
Теорема 6.
Если f непрерывен на [a, b], то f ограничен снизу на [a, b] , то есть существует некоторое число N такое, что f (x) ›N для всех x в [a , б].
Теоремы 2 и 6 вместе показывают, что непрерывная функция f на [a, b] ограничена на [a, b].
Теорема 7.
Если f непрерывен на [a, b], то в [a, b] такое, что f (y) ≤ f (x) для всех x в [a, b] .
Это означает, что непрерывная функция на закрытом интервале принимает минимальное значение на этом интервале.
Теоремы 8 и 9
Каждое положительное число имеет квадратный корень. Другими словами, если a ›0, то существует некоторое число x такое, что x² = α.
Если n нечетно, то любое уравнение x ^ n + a_ (ni) · x ^ (n-1) +… + a0 = 0 имеет корень .
Теорема 9 решает проблему уравнений нечетных степеней. А что насчет четных степеней?
Теорема 10.
Если n четное и f (x) = x ^ n + a_ (ni) · x ^ (n-1) +… + a0 , то существует такое число y, что f (y) ≤ f (x) для всех x.
Теорема 11.
Рассмотрим уравнение x ^ n + a_ (n-i) · x ^ (n-1) +… + a0 = c и предположим, что n четное. Тогда существует такое число m, что уравнение имеет решение для c ≥m и не имеет решения для c ‹m.
Наименьшая верхняя граница
Ограниченное множество
Набор A действительных чисел ограничен сверху, если есть число x. такое, что x ≥ a для каждого a в A . Такое число называется верхней границей.
Это может определить функцию, ограниченную сверху и снизу, используя x ≤ a.
Некоторые примеры неограниченных множеств: R (вещественные числа), N (натуральные числа), ограниченное множество - A = {x: 1 ≤ x ‹4. }.
Наименьшая верхняя граница
Число x - это наименьшая верхняя граница A, если x - это верхняя граница A, а y - верхняя граница граница A, затем x≤y.
Как и в случае с ограниченным выше, мы можем определить точную нижнюю границу, просто инвертируя определение:
Число x - это наибольшая нижняя граница A, если x - это нижняя граница A, а y - нижняя граница граница A, затем x≥y.
Отсюда мы можем показать, что существуют две верхние границы: x и y, x≤y и y≤x, поэтому x = y.
Мы будем использовать supremum of A , чтобы выразить наименьшую верхнюю границу, и обозначим ее как sup A . Мы будем называть наибольшую нижнюю границу infimum для A, сокращенно inf A.
Имея только одну наименьшую верхнюю границу
Если A не ограничен сверху, то A вообще не имеет верхней границы, поэтому нельзя ожидать, что A будет иметь наименьшую верхнюю границу.
Свойство наименьшей верхней границы: если A представляет собой набор действительных чисел, A ≠ ∅ и A ограничен сверху, то A имеет наименьшую верхнюю границу.
Резюме
Это четвертый пост из серии исчислений, в нем мы перешли от непрерывной точки функции к непрерывным интервалам и показали теоремы, которые позволят нам это доказать. Исчисление позволит нам определять производные и интегралы. Методы, используемые для оптимизации функций для поиска минимальной ошибки, и здесь задействованы вычисления.
Это двадцать четвертый пост из моего конкретного # 100daysofML, я буду публиковать достижения в этой задаче на GitHub, Twitter и Medium (Adrià Serra).
