Предлагаем вам забавное двухминутное руководство по печально известной Аксиоме выбора, одному из самых необычных математических курьезов.
Что такое аксиома выбора?
Короткий ответ, отнюдь не строгий, заключается в том, что выбранная аксиома позволяет математикам одновременно извлекать элементы из бесконечного числа бесконечно больших множеств. Это оказывается очень важным, потому что математики действительно очень любят создавать объекты бесконечного размера и еще больше любят возможность формализовать свои манипуляции с объектами бесконечного размера.
Но давайте копнем глубже.
Аксиома выбора позволяет нам выбирать элементы из «индексированных наборов». Когда речь идет о «конечных вещах», это кажется очевидным. Например, если A = {1,2,3}, B = {3,4,5} и C = {5,6}, то легко выбрать элемент из каждого. Просто выберите, скажем, 1 из A, 3 из B и 6 из C. На самом деле, если вы имеете дело только с конечными множествами (например, имеете дело с конечными числами, конечными графами, конечным числом людей и т. Д.), Тогда вам никогда не понадобится Аксиома выбора. Это включает в себя множество интересных математических дисциплин, от информатики до теории графов. И, вероятно, включает в себя все, что есть в реальном мире.
Но математики не хотят ограничиваться конечным. Каким бы скучным было бы, если бы мы не могли создать столько странных и чудесных математических объектов, сколько позволяет наше воображение, сохраняя при этом согласованность за счет использования разумных аксиом.
А теперь представьте, что у нас есть сумка, заполненная наборами, а в сумке - бесконечное количество наборов. Аксиома выбора говорит нам, что есть набор, содержащий элемент из каждого набора в сумке. По сути, это позволяет нам осмысленно извлекать элементы из бесконечно больших наборов наборов. Фактически, это позволяет нам делать это, даже если каждый набор содержит бесконечное количество самих элементов! Поскольку эти наборы часто характеризуются каким-либо свойством, элементы, которые мы «выбираем» для нас с помощью Аксиомы выбора, часто будут иметь структуру, которую мы можем использовать!
Почему (!!) Аксиома выбора?
Я начинаю этот раздел с цитаты из ответа на MathOverflow, озаглавленного Как я научился перестать беспокоиться и полюбить аксиому выбора. См. здесь.
Вселенная без выбора может быть очень странным местом. Одним из следствий Аксиомы выбора является то, что когда вы разбиваете набор на непересекающиеся непустые части, то количество частей не превышает количества элементов разбиваемого набора. Это может потерпеть неудачу без Аксиомы выбора.
* Этот ответ был написан доктором Стрэнджчойс с загадочным именем *
Что это значит? Это означает, что вы можете взять набор, распределить все его элементы по разным частям и в итоге получить больше частей, чем элементов. Представьте себе, что вы берете набор разных конфет, всех разного цвета, кладете по две в каждый мешок и в итоге получаете больше сумок, чем конфет!
Без Аксиомы выбора многое развалится, причем довольно быстро.
Чтобы определить мощности, нам нужна Аксиома выбора. Если вы удалите Аксиому Выбора, то действительные числа можно будет записать как счетное объединение счетных множеств.
Что, если мы хотим иметь дело с большими векторными пространствами. В R³ мы можем построить основу для пространства, так что любую точку можно записать как линейную комбинацию трех компонентов (например, 3 поперек, 2 вверх, 4 по, где "поперек", "вверх", "вдоль" - наша "основа"). Для этого требуется базис Гамеля (который я построил здесь во время блокировки), который является эквивалентом базиса из нашего стандартного трехмерного пространства, но для бесконечномерного векторного пространства.
Да, и возможно, что числа могут быть записаны как объединение двух множеств меньшей мощности. Это по сути ересь! Было бы бессмысленно сравнивать размеры бесконечно больших множеств.
Верна ли Аксиома выбора?
… Это неправильный взгляд на это.
Было доказано, что аксиома выбора согласуется с другими аксиомами теории множеств, но с ее отрицанием. Т.е. нам не нужно беспокоиться о том, что это испортит нашу согласованность с аппаратом, который мы используем для конечных множеств.
Аксиома выбора расширяет то, что нам удобно делать с конечными множествами, согласуется с другими аксиомами и заставляет огромное количество математики работать, и большая часть этой математики чрезвычайно полезна.
Если вы ищете какую-то платоническую истину, то я думаю, что вы лаете не на то дерево. Лучше рассматривать математику как структуру, большая часть которой параллельна реальному миру (например, евклидова геометрия дает реальное представление об объектах, которые на самом деле не являются двумерными и имеют идеально гладкие края), чем обязательно являющиеся некоторыми обязательно истинными утверждениями.
Он работает и лежит в основе математических объектов, которые мы используем, чтобы говорить о вероятностях, физике элементарных частиц и многом другом.
Джерри Бона выразился так: «Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип правильного порядка явно ложен, и кто может сказать о лемме Цорна». * Шутка * в том, что все эти три принципа подразумевают друг друга; тем не менее, у математиков очень разные интуиции относительно того, должны ли быть верными.
В любом слючае…
В любом случае, я «перестал беспокоиться и научился любить аксиому выбора». Возможно, когда через несколько лет после того, как я узнаю больше об основах математики, я буду достаточно напуган, чтобы пересмотреть свое мнение :)
P.S. Если вас интересует такая математика, я написал короткое введение к (не) известной лемме Цорна. Кроме того, если вам нужны случайные математические обновления, вы можете подписаться на меня в твиттере, где я ethan_the_mathmo. Если у вас есть мысли и / или исправления, оставьте их ниже. Думаю, мне удается отвечать на 85% комментариев и пытаться обновлять статьи, если обнаруживаются ошибки.
