ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ ДАННЫХ И МАШИНОСТРОЕНИЯ
Детерминанты матрицы
Один из основных расчетов для их ускорения
В этом посте мы поговорим о детерминантах, простом способе вычисления свойств матрицы, относящихся к скорости наших моделей машинного обучения.
Детерминанты
Детерминанты позволяют нам вычислять свойства матриц и результаты быстрее, чем их решение в виде системы уравнений.
На изображении мы видим детерминант n на n. Мы объясним, как рассчитываются детерминанты, используя этот -one, а затем запустите несколько примеров.
Детерминантный расчет
Рассмотрим любое произведение из n элементов, которые появляются в разных строках и разных столбцах матрицы, так что только один элемент для каждой строки и только один элемент для каждого столбца. При этом вы выбираете n элементов, мы представим это так:
Теперь нам нужно работать со значениями α, все они разные, нам нужно их упорядочить и рассчитать количество инверсий, необходимых для этого. Инверсия - это то же самое, что и изменение положения двух элементов списка, мы обозначим это так:
Например, в случае N (4,1,3,2):
нам потребовалось 4 инверсии, чтобы упорядочить элементы, поэтому N (4,1,3,2) = 4
Если количество инверсий нечетное, мы умножаем значение на -1, если четное - сохраняем знак. Чтобы выразить это математически, мы делаем это так:
Теперь у нас есть все, чтобы вычислить определитель, это так же просто, как умножить формулу знака, указанную выше, на произведение элементов и повторить ее, поскольку возможных комбинаций больше нет:
Примеры расчета
Типичным примером этого расчета является матрица 3 на 3, в которой всего 6 различных комбинаций:
Детерминанты дают нам основу методов Крамера для решения систем уравнений, это будет объяснено в завтрашнем посте, но теперь нам нужно понять некоторые свойства определителей.
Детерминантные свойства
Транспонировать матрицу
Транспонирование матрицы - это операция, которая инвертирует индекс столбцов и строк каждого элемента, например, элемент 12 становится 21:
Поскольку мы меняем столбцы на строки и строки на столбцы, мы не меняем вычисление определителя, поэтому транспонирование определителя имеет то же значение, что и исходный определитель.
Свойство антисимметрии
Это свойство объясняет, что если мы изменим порядок столбцов или строк матрицы, определитель изменит знак.
Если определитель A положительный, определитель A ', где произошло изменение нечетного числа столбцов отрицательный.
Линейное свойство
Если все элементы столбца умножаются на постоянное значение, мы можем факторизовать это значение и умножить его на определитель матрицы результатов.
- Если столбец матрицы состоит только из 0, определитель равен 0.
- Добавление значений одного столбца к другому не влияет на определитель.
Резюме
В последнем посте мы объяснили, как системы уравнений решаются графически, чтобы понять, как их решать вычислительно, нам нужно много теории алгебры, в этом посте объяснялось, как вычислять детерминанты, и вводились некоторые свойства, которые будут действительно полезны.
Алгебра - увлекательный предмет, который позволяет нам работать с большими объемами данных в короткие промежутки времени, но чтобы понять, как это работает, нам необходимо ввести некоторые из основных ее концепций.
Это тринадцатая публикация моего конкретного # 100daysofML, я буду публиковать достижения в этой задаче на GitHub, Twitter и Medium (Adrià Serra).
