"Математика"
Известные современные математические задачи: 13-я проблема Гильберта
Эта знаменитая задача преследует математиков более века.
Недавно я запустил образовательный информационный бюллетень, посвященный ИИ, на который уже подписано более 100 000 человек. TheSequence - это информационный бюллетень, ориентированный на ML (то есть без рекламы, без новостей и т. Д.), На чтение которого уходит 5 минут. Наша цель - держать вас в курсе проектов, исследовательских работ и концепций машинного обучения. Пожалуйста, попробуйте, подписавшись ниже:
Продолжая серию об известных задачах, которые до сих пор преследуют математиков, я хотел бы обсудить одну, которая выдержала испытание временем более 120 лет. Я имею в виду знаменитую 13-ю проблему Гильберта.
На конференции в Париже в 1900 году немецкий математик Давид Гильберт представил список из 23 нерешенных проблем математики, которые он считал необходимыми для развития этой области. За год одни из этих проблем были решены, другие поставлены под сомнение, а третьи выдержали испытание временем и целыми армиями математиков, пытающихся их решить. В последней группе нам нужно посчитать 13-ю проблему Гильберта.
Как и хорошие математические загадки, 13-я проблема Гильберта невероятно проста для объяснения. Суть проблемы связана с умением решать полиномиальные уравнения 7-й степени. Под полиномом мы понимаем строку математических терминов, состоящую из числовых коэффициентов, переменных в степенях, связанных операциями сложения и вычитания. Представьте себе уравнение следующего вида:
x^7 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0
13-я проблема Гильберта просто спрашивает, можно ли решить этот тип уравнений как композицию конечного числа функций двух переменных. Из элементарной математики мы изучаем методы решения полиномиальных уравнений второй, третьей и четвертой степени. В других случаях эти методы годами занимали знаменитых математиков. Например, математические легенды, такие как Фибоначчи, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано, активно работают над решением кубики (полиномиальные уравнения третьей степени). Один из математических гениев 19 века, Нильс Хенрик Абель, проделал большую работу, пытаясь решить уравнения пятой степени.
Полиномы 7-й степени кажутся следующей границей. Но проблема оставалась нерешенной более века. Интересно, что Гильберт предсказал отрицательный ответ на свою 13-ю задачу:
«вероятно, что корень уравнения седьмой степени является функцией его коэффициентов, которые […] не могут быть построены конечным числом вставок функций двух аргументов. Чтобы доказать это, потребуется доказательство того, что уравнение седьмой степени f7 + xf3 + yf2 + zf + 1 = 0 не разрешимо с помощью каких-либо непрерывных функций всего двух аргументов ».
потребовалось около 50 лет после формулировки 13-й проблемы Гильберта, чтобы добиться сколько-нибудь значимого прогресса в ее решении. Самое известное доказательство этой проблемы было получено в 1950-х годах советским вундеркиндом по имени Владимир Арнольд и его наставником Андреем Николаевичем Колмогоровым. Большинство математиков полагали, что доказательство Арнольда-Колмогорова было окончательным ответом на 13-ю проблему Гильберта, но оказалось, что это не так. Их доказательство ограничивалось непрерывными функциями (которые представляют собой функции без резких изменений значения). Однако проблема Гильберта была больше сосредоточена на алгебраических функциях (функциях, которые можно определить как корень полиномиального уравнения), а не обязательно на непрерывных функциях. Сам Арнольд заявил, что 13-я проблема Гильберта все еще открыта, и потратил десятилетия, безуспешно пытаясь найти более общее решение.
За последние несколько лет произошло несколько интересных событий, которые могут указывать на окончательное решение математических задач. На данный момент 13-я проблема Гильберта все еще может считаться одной из самых знаковых математических проблем прошлого века.
