Введение
Есть много мест, где вас учат сложным числам, например, старшая школа, курсы колледжа, каналы YouTube и так далее.
Но раньше они часто усердно решали проблемы вручную и почти каждый раз делали только это.
Последние сосредоточены в основном на блестящих визуальных эффектах или расширенных свойствах, которые не предназначены для непосвященных.
Эта статья написана как для людей, которые впервые знакомятся с комплексными числами, так и для людей, которые изучали их в колледже и плохо разбираются в теме. (Почему бы и нет? Им пришлось сосредоточиться на решении скучных задач вручную.)
Когда я увидел, как Джереми говорит о комплексных числах в учебной группе APL, я понял, что должен что-то написать — я делал сочинение по математике на первом курсе по комплексным числам в старшей школе!
Идея состоит в том, чтобы:
- быстро представить комплексные числа и как с ними работать
- поговорим об их происхождении: зачем вообще нужны комплексные числа?
- показать, как они продолжают числовую прямую
- показать, как я работаю оператором, и вкратце, что такое операторы
- расскажите о реальном примере и возможном будущем использовании
Я буду краток и четок.
Комплексные числа
Комплексные числа, как вы могли видеть, записываются так:
Здесь все, что в правой части, — это число. а — действительная часть, а b — мнимая часть.
Не запутайтесь в названиях. Мнимые числа вовсе не мнимые. Они делают вид, или, скорее, они могут очень хорошо представлять вещи в реальной жизни! Скоро увидим.
Вы можете складывать и вычитать комплексные числа. Вы добавляете (или вычитаете) действительную и мнимую части отдельно.
Позволь мне показать тебе.
Их можно умножать и делить на действительные числа и другие комплексные числа. Они работают именно так, как вы ожидаете.
Давайте не будем проводить здесь слишком много времени.
Как они себя ведут, и более подробную информацию можно быстро найти в Интернете.
Я предлагаю курс Академии Хана по комплексным числам.
О, я еще не сказал вам значение i.
i, определяется таким образом, что
Вот и все!
Зачем нам i и весь комплекс комплексных чисел
История гласит, что когда греков одолевали голод и другие беды, Дельфийский оракул велел им удвоить высоту куба, сделанного в честь Аполлона.
Греки не могли этого сделать! Как они могли?
Чтобы удвоить размер куба, нужно найти кубический корень из 2. Греки этого не умели!
Очень жаль.
Вы, наверное, знакомы с историей о том, что Пифагор, расстроенный тем, что размер диагонали квадрата со стороной 1 нельзя измерить, приказал кого-то убрать! Просто так!
Потому что квадратный корень из 2 тогда нельзя было измерить. Это не число, которое вы записываете, как другие.
Людям нужно было что-то, что можно было бы приручить, — числа, у которых всегда были бы корни, какими бы они ни были!
Вот как это произошло. Комплексные числа — это числа, которые всегда имеют корни. Не важно что.
А с появлением мнимых чисел стало возможным вычислять и квадратный корень из отрицательных чисел. Но это пришло позже.
Расширение числовой строки
Числовая линия — простое животное.
Он одномерный. Он расширяет оба пути нуля.
И, таким образом, это было ограничением.
Комплексные числа были определены таким образом, что они добавляли одно дополнительное измерение к числовой прямой.
Это уже не было так одномерно.
Фото: Википедия
Теперь числа не ограничивались линией, это была плоскость.
И стали возможными многие другие операции, которых раньше просто не было.
я как оператор
я не простой. Его добавление или умножение имеет последствия.
Если вы еще не знаете, очень просто, операторы — это вещи, которые воздействуют на другие вещи.
(От предыдущей строки нельзя ожидать никакой математической строгости)
Вы знаете операторов. Мы говорим об этом в APL. Мы используем их всякий раз, когда пишем код.
Функции также являются операторами.
Подумайте, например, об операторе —.
Это наш дружественный отрицательный знак. Но добавьте его перед положительным числом, и результатом будет отрицательное число. Число больше не будет оставаться положительным.
Подумайте об операторе + в математике. Требуется два числа, а не одно. И результат есть сумма их обоих.
Оператор берет в него вещи и выплевывает результаты.
я тоже оператор.
Умножение числа на i поворачивает число на 90 градусов против часовой стрелки в комплексной плоскости.
Поверните его дважды, и вы получите отрицательное число. Потому что, как вы знаете, я — это квадрат -1. А умножение числа на квадрат i инвертирует его, т.е. поворачивает число на 180 градусов, или отбрасывает в темную, хм, отрицательную сторону.
Это имеет важные последствия.
Пример использования комплексного числа в реальном мире: электроника
Сфера применения этого произведения очень ограничена.
Но я покажу вам один пример.
Переменный ток не является постоянным или фиксированным, как постоянный ток или постоянный ток. Переменный ток, которым питается наш дом, является единственной практичной формой электричества, которую можно практически транспортировать из одной точки в другую на большие расстояния.
Эта форма электричества действует как волна.
И всякий раз, когда речь идет о волнах, нам приходится иметь дело с углами, частотами и амплитудами.
Когда речь идет об углах, мы можем использовать тригонометрические функции, такие как косинус и синус.
А комплексные числа связаны с тригонометрическими функциями через формулу Эйлера:
И когда мы можем использовать специальное число, e, мы можем легко решить многие проблемы, потому что функция возвращает себя после дифференцирования и интегрирования.
Это упрощает многие вещи.
Хотя это и является причиной использования комплексных чисел в электронике в первую очередь, они также облегчают жизнь для упрощения вычислений и манипулирования количествами.
Зачем беспокоиться: недостаточно ли еще одного измерения?
Вы можете подумать, что комплексные числа — это такая неприятность, и мы могли бы сделать те же умные вещи, добавив еще одно измерение к действительному числу, как мы это делаем в геометрии. Разве не было бы достаточно «y» вместо этого измерения, пронизанного «воображаемыми числами»?
Ответ - нет.
Тогда у вас не будет такого же поведения.
Вы не сможете получить те тонкости, которые предоставляет вам формула Эйлера, и доступ, который она предоставляет вам к экспоненциальной функции.
Надеюсь, мне удалось дать вам некоторое представление о комплексных числах и их использовании.
Пожалуйста, дай мне знать, что ты думаешь.
