Как это связано с скалярными произведениями вектора
В области науки о данных, машинного обучения и искусственного интеллекта мы всегда имеем дело с векторами в линейной алгебре.
Существует множество концепций и формул, которые мы должны знать о векторах, и одна из наиболее важных особенностей вектора, связанная с наукой о данных, - это проекция вектора.
Векторная проекция тесно связана с скалярным произведением векторов, поэтому давайте сначала посмотрим, что такое скалярное произведение векторов.
Что такое скалярный продукт?
Точечный продукт - это сумма произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел.
Например, если A - вектор [1,2] ^ T, а B - вектор [3,4] ^ T, то скалярное произведение A и B равно 1 * 3 + 2 * 4 = 9.
[1,2] ^ T означает транспонирование [1,2], которое используется для выражения вектора-столбца.
Вы можете заметить, что скалярное произведение векторов становится скалярным значением. Вы должны помнить, что результатом скалярного произведения векторов является скалярное значение!
Он не ограничен двумерным вектором, и количество векторов может быть больше двух.
Если A равно [a1, a2,…, an], B равно [b1, b2,…, bn], а C равно [c1, c2,… cn], точечное произведение этих векторов равно a1 * b1 * c1 + a2. * b2 * c2 +… + an * bn * cn.
Давайте сделаем скалярное произведение двух одинаковых векторов.
[a1, a2] * [a1, a2] = a1*a1 + a2*a2
В этой статье * означает скалярное произведение.
Представим, что вектор находится в двумерной системе координат. Тогда квадрат корня из a1 * a1 + a2 * a2 (который показан в A1) является длиной этого вектора (который показан в A2)
Это приводит к формуле, в которой скалярное произведение того же вектора совпадает с квадратом длины этого вектора. (Который показан в B1)
Понятно, тогда что там с векторной проекцией?
Предположим, что вы полностью понимаете скалярное произведение векторов, давайте выясним взаимосвязь между скалярным произведением и векторной проекцией.
В C1 вы, возможно, выучили такую формулу, как C2.
Предположим, что a, b, c - векторы типа C3.
Следуя определению вычитания векторов, c становится r-s.
Применяя C2, получаем формулу C4.
Как мы узнали из скалярного произведения выше, || r-s || ² совпадает с (r-s) * (r-s).
Таким образом, мы получаем следующее
Удалив одно и то же значение, мы получим следующее.
Наконец, мы получаем C5, о котором нужно помнить.
😡, когда вообще выходит векторная проекция!
извините за опоздание .. 😅
Теперь давайте узнаем о векторной проекции, используя то, что мы узнали!
Давайте сначала узнаем об определении проекции вектора.
Векторная проекция вектора a на вектор b - это ортогональная проекция вектора a на прямую, параллельную b. Другими словами, это вектор, параллельный b.
Например, в D1 a1 - это векторная проекция a на b.
Длина a1 рассчитывается D2.
Как и в C5, это то же самое, что и в D3.
Поскольку длина a1 является скалярным значением, D3 называется скалярной проекцией.
Чтобы получить векторную проекцию, мы должны получить вектор, верно?
Как мы можем получить вектор из длины вектора?
Мы можем сделать это, умножив единичный вектор на длину вектора D3.
Единичный вектор r вычисляется D4.
Следовательно, проекции вектора вычисляются путем умножения D4 на D3, как D5.
Вычисляя D5, мы фактически получаем проекцию вектора a на b, a1, используя a и b, применяя концепцию скалярного произведения.
Вывод
Наконец-то мы это сделали! Мы получили проекцию вектора с помощью скалярного произведения векторов.
Если у вас возникли трудности с чтением этой статьи, простите меня ..
Слишком сложно писать математические формулы средним языком.
В любом случае, спасибо за чтение! Надеюсь, эта статья поможет вам разобраться в векторной проекции. 😄
